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在[[数值线性代数]]中，'''雅可比旋转'''是 ''n'' 维[[内积空间]]的二维线性子空间的[[旋转]] ''Q''<sub>''k''ℓ</sub>，在用做[[相似变换]]的时候，被选择来置零 ''n''×''n'' [[实数]][[对称矩阵]] ''A'' 的非[[主对角线|对角]]元素的对称对:

: <math> A \mapsto Q_{k\ell}^T A Q_{k\ell} = A' . \,\! </math>

: <math>
\begin{bmatrix}
 {*} &   &   & \cdots &   &   & * \\
   & \ddots &   &   &   &   &   \\
   &   & a_{kk} & \cdots & a_{k\ell} &   &   \\
 \vdots &   & \vdots & \ddots & \vdots &   & \vdots \\
   &   & a_{\ell k} & \cdots & a_{\ell\ell} &   &   \\
   &    &   &   &   & \ddots &   \\
 {*} &   &   & \cdots &   &   & *
\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}
 {*} &   &   & \cdots &   &   & * \\
   & \ddots &   &   &   &   &   \\
   &   & a'_{kk} & \cdots & 0 &   &   \\
 \vdots &   & \vdots & \ddots & \vdots &   & \vdots \\
   &   & 0 & \cdots & a'_{\ell\ell} &   &   \\
   &    &   &   &   & \ddots &   \\
 {*} &   &   & \cdots &   &   & *
\end{bmatrix}
</math>

它是[[雅可比特征值算法]]的核心运算，它是[[数值稳定性|数值上稳定]]的并适合用[[并行计算]]实现。

注意到只有 ''A'' 的行 ''k'' 和 ℓ 与列 ''k'' 和 ℓ 受到影响，并且 ''A''&prime; 将保持对称。还有给 ''Q''<sub>''k''ℓ</sub> 的明显的矩阵很少被计算，转而计算辅助值，''A'' 也有效率和数值上稳定的方式更新。但是，为了引用，我们写矩阵为

: <math>
Q_{k\ell} = 
\begin{bmatrix}
 1 &   &   &   &   &   &   \\
   & \ddots &   &   &   & 0 &   \\
   &   & c & \cdots & s &   &   \\
   &   & \vdots & \ddots & \vdots &   &  \\
   &   & -s & \cdots & c &   &   \\
   & 0 &   &   &   & \ddots &   \\
   &   &   &   &   &   & 1
\end{bmatrix} .
</math>

就是说，除了四个元素之外，''Q''<sub>''k''ℓ</sub> 是一个单位矩阵，两个在对角线上(''q''<sub>''kk''</sub> 和 ''q''<sub>ℓℓ</sub> 都等于 ''c'') 而两个位于远离对角的位置上(''q''<sub>''k''ℓ</sub> 和 ''Q''<sub>ℓ''k''</sub> 分别等于 ''s'' 和 −''s'')。这里的 ''c''&nbsp;= cos&nbsp;ϑ 而 ''s''&nbsp;= sin&nbsp;ϑ 对于某个角度 ϑ；但是对于应用这种旋转，这个角度自身是不需要的。使用[[克罗内克δ]]符号，矩阵元素可以写为

: <math> q_{ij} = 
\delta_{ij} + (\delta_{ik}\delta_{jk} 
+ \delta_{i\ell}\delta_{j\ell})(c-1) + (\delta_{ik}\delta_{j\ell} 
- \delta_{i\ell}\delta_{jk})s . \,\!
</math>

假设 ''h'' 是不为 ''k'' 或 ℓ 的索引(它们自身必须是不同的)。类似的更改过程在代数上写为

: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = c a_{hk} - s a_{h\ell} \,\! </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = c a_{h\ell} + s a_{hk} \,\! </math>

: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = (c^2-s^2)a_{k\ell} + sc (a_{kk} - a_{\ell\ell}) = 0 \,\! </math>

: <math> a'_{kk} = c^2 a_{kk} - s^2 a_{\ell\ell} - 2 s c a_{k\ell} \,\! </math>
: <math> a'_{\ell\ell} = c^2 a_{kk} - s^2 a_{\ell\ell} + 2 s c a_{k\ell} \,\! </math>

== 数值稳定计算 ==

要确定需要更改的数量，我们必须解远离对角的元素为零的方程{{Harv|Golub|Van Loan|1996|loc=§8.4}}。这蕴涵了

: <math> \frac{c^2-s^2}{sc} = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{a_{k\ell}} . </math>

设 β 是这个数量的一半，

: <math> \beta = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{2 a_{k\ell}} . </math>

如果 ''a''<sub>''k''ℓ</sub> 是零，我们可以停止而不需要进行更改，因此我们永不除以零。设 ''t'' 是 tan&nbsp;ϑ。则通过一些三角恒等式我们简约这个方程为

: <math> t^2 + 2\beta t - 1 = 0 . \,\! </math>

为了稳定性我们选择解

: <math> t = \frac{\sgn(\beta)}{|\beta|+\sqrt{\beta^2+1}} . </math>

以此我们可以获得 ''c'' 和 ''s'' 为

: <math> c = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \,\! </math>
: <math> s = c t \,\! </math>

尽管我们可以使用前面给出的代数更改等式，重写它们会更好。设

: <math> \rho= \frac{s}{1+c} , </math>

所以 ρ&nbsp;= tan(ϑ/2)。则修订后的修改方程为

: <math> a'_{hk} = a'_{kh} = a_{hk} - s (a_{h\ell} + \rho a_{hk}) \,\! </math>
: <math> a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = a_{h\ell} + s (a_{hk} - \rho a_{h\ell}) \,\! </math>

: <math> a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = 0 \,\! </math>

: <math> a'_{kk} = a_{kk} - t a_{k \ell} \,\! </math>
: <math> a'_{\ell\ell} = a_{\ell\ell} + t a_{k \ell} \,\! </math>

如前面提及的，我们永不需要明确的计算旋转角度 ϑ。事实上，我们可以通过只保留三个值 ''k'', ℓ 和 ''t'' 来重新生成由 ''Q''<sub>''k''ℓ</sub> 确定的对称更改，带有 ''t'' 对零旋转设置为零。

== 参见 ==
* [[Givens旋转]]

== 引用 ==
* [[Gene H. Golub|Golub, Gene H.]] & [[Charles F. Van Loan]] (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN [http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Special:Booksources&isbn=9780801854149 978-0-8018-5414-9] {{Wayback|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Special:Booksources&isbn=9780801854149 |date=20170511053901 }}

<!-- The main source for this presentation was [http://beige.ucs.indiana.edu/B673/node24.html]. -->

[[Category:数值线性代数|I]]