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{{NoteTA
|G1=Math
}}
{{for|多变量的雅可比多项式|黑科曼-欧普达姆多项式}}
在[[数学]]中，'''雅可比多项式''' （{{lang-en|Jacobi polynomials}}，有时也被称为'''超几何多项式'''）是一类[[正交多项式]]。它的名称来自十九世纪普魯士数学家[[卡爾·雅可比]]。

==定义==
雅可比多项式是从[[超几何函数]]中获得的，这个多项式列实际上是有限的：

:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,</math>

其中的<math>(\alpha+1)_n</math>是[[阶乘幂|阶乘幂符号]]（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm p561] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm |date=20050817061630 }}）因此实际上的表达式是：

:<math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,
</math>
当''z''等于1的时候，上式中的[[无穷级数]]只有第一项非零，这时得到：
:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .</math>
这里对于每一个整数<math>n\,</math>
:<math>
{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},
</math>
而 <math>\Gamma(z)\,</math>是通常定义的[[Gamma函数|伽马函数]]，其中约定，当整数''n''为小于零的时候：
:<math>
{z\choose n} = 0
</math>

这个多项式列满足正交性条件：
:<math>
\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}
</math>
其中<math>\alpha>-1</math>而且<math>\beta>-1</math>。

这个多项式列还满足对称性的关系：
:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);
</math>
因此在''z''等于-1的时候也可以直接算出多项式值：
:<math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .
</math>
对于实数 <math>x</math>，雅可比多项式也可以写成另一种形式：
:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}
</math>
其中 <math>s \ge 0 \,</math> 并且 <math> n-s \ge 0 \, </math>。

有一个特殊的情形，是当以下四个量：
<math>n</math>、<math>n+\alpha</math>、<math>n+\beta</math> 以及
<math>n+\alpha +\beta</math> 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：
:<math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.
</math>
其中<math>s\,</math>的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数<math>s\,</math>求和。

在这种情形下，以上表达式使得[[维纳D-矩阵|维纳d-矩阵]]<math>d^j_{m' m}(\phi)\;</math>（<math>0\le \phi\le 4\pi</math>）可以写成用雅可比多项式表达的形式<ref>L. C. Biedenharn and J. D. Louck,
''Angular Momentum in Quantum Physics'', Addison-Wesley, Reading, (1981)</ref>：
:<math>
d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).
</math>

==导数==
身为多项式的一种，雅可比多项式也是[[光滑函数|无限连续可微]]（可导）的函数。雅可比多项式的第''k''次导函数为：
:<math>
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .
</math>

==微分方程==
雅可比多项式<math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math>是以下的二阶齐次线性[[常微分方程]]的解：
:<math>
(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,
</math>

==参见==
*[[比贝尔巴赫猜想]]
*[[勒让德多项式]]
*[[切比雪夫多项式]]
*[[盖根鲍尔多项式]]
*[[雅可比过程]]

==注释==
<div class="references">
<references />

==参考来源==
<small>
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "[http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22] {{Wayback|url=http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=20200805072421 }}", ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=20090919135437 }} .
*{{Citation | last1=Andrews | first1=George E. | last2=Askey | first2=Richard | last3=Roy | first3=Ranjan | title=Special functions | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | isbn=978-0-521-62321-6|id=ISBN 978-0-521-78988-2, {{MathSciNet | id = 1688958}} | year=1999 | volume=71}}
*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "[http://dlmf.nist.gov/18 Orthogonal Polynomials] {{Wayback|url=http://dlmf.nist.gov/18 |date=20130601094309 }}", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., ''NIST Handbook of Mathematical Functions'', Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
</small>

[[Category:超几何函数]]
[[Category:正交多项式]]