查看“︁雅可比三重乘积”︁的源代码

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'''雅可比三重乘积'''是由德国数学家[[卡尔·雅可比]]在对[[theta函数]]和[[q-模拟]]的研究中发现的有关一个三重[[无穷乘积]]的[[恒等式]]，形如
: <math>\prod_{k=1}^\infty(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}z^{-2})(1+q^{2k-1}z^{+2})=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{k^2}z^{2k}</math>
其中<math>q<|1|</math>在[[单位圆盘]]内，而<math>z\neq0</math>非[[零]]。
它也可以用[[Q-函数]]或者[[q-珀赫哈默尔符号]]描述，
: <math>Q_1Q_2Q_3=1</math>

==证明==
考虑恒等式
: <math>q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\sum_{j=0}^\infty(s^{k+j})\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)\left[t^j\prod_{n=1}^\infty(1+tq^n)+t^{j-1}\prod_{n=1}^\infty(1+tq^n)\right]</math>
立刻就有
: <math>q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\sum_{j=0}^\infty(1+t)(s^{k+j}t^j)\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+tq^m)=\sum_{j=0}^\infty(s^{k+j}t^j)\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+tq^{m-1})</math>
考虑令<math>u=st</math>，则原式可改写为
: <math>q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^k\sum_{j=0}^\infty u^j\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+uq^{m-1}/s)</math>
因此
: <math>q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^k\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+sq^{m-1})</math>
利用对称性，令<math>s=1/s</math>，又有
: <math>q^{\begin{pmatrix}1-k\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^{-k}\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)</math>
再考虑对<math>k</math>的双边无穷求和，
: <math>\sum_{k=-\infty}^\infty s^kq^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)</math>
因此，进一步地
: <math>\sum_{k=-\infty}^\infty s^kq^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}=\prod_{m=1}^\infty(1-q^m)(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)</math>
令<math>q=q^2</math>且<math>sq=z</math>，恒等式得证。