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在[[数学分析]]中，'''隐函数定理'''（{{lang-en|Implicit function theorem}}）是一個用來回答下面的問題的工具：

 以[[隐函数]]表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隐函数定理说明，对于一个由关系 <math>f(x,y) = 0</math> 表示的隐函数，如果它在某一点的偏[[微分]]满足某些条件，则在该点有[[鄰域]]使得在該鄰域內 {{math|''y''}} 可以表示成关于 {{math|''x''}} 的函数：
:<math>y =h(x)</math>
这样就把隐函数关系变成了常见的[[函数]]关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變量 {{math|''x'', ''y''}} 滿足隱函數 {{math| 1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> − 1 = 0}}，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的[[鄰域]]跟定義在鄰域裡的顯函數 {{math|1=''y''=''h''(''x'')}} 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了{{math|(-1,0)}} 跟 {{math|(1,0 )}} 兩點外，其他點局部上都有 {{math|1=''y''=''h''(''x'')}} 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

== 例子 ==
[[File:Implicit circle.svg|thumb|200px|讓函数<math>f(x,y)=x^2 + y^2</math>，則单位圆就可以写成满足方程式<math>f(x,y)-1=0</math>的点的集合。在圆上的点A附近，''y'' 可以表示成 ''x'' 的函数： <math>y(x)=\sqrt{1-x^2}</math>，但點B就不行（因為在點B附近，一個 ''x'' 會對應到兩個 ''y'' 的值）。]]
有函數 <math>f(x,y)=x^2 + y^2</math>，那么方程式 <math>f(x,y)-1=0</math> 的所有解的集合构成平面上的[[单位圆]]。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 <math>y = h(x)</math> 的形式的，因为每个<math>x \in (-1,1),</math>都有两个<math>y</math>的值与之对应，即<math>\pm\sqrt{1-x^2}</math>。

然而在某些點附近，<u>局部</u>地用 <math>x</math> 來表示 <math>y</math> 是可能的。比如给定圆上一点 <math>(x,y)</math>，如果 <math>y>0</math>，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 <math>y</math> 可以写成关于 <math>x</math> 的函数：<math>y = \sqrt{1-x^2} </math>。如果 <math>y<0</math>，在圓的下半部分 <math>y</math> 也可以写成关于 <math>x</math> 的函数：<math>y = - \sqrt{1-x^2}</math>。

但是，在点 <math> (\pm1,0) </math> 的附近，<math>y</math> 无法写成关于 <math>x</math> 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 <math>x</math>，都有两个 <math>y</math> 的值与之对应，這種情況下 <math>y</math> 無法寫成 <math>x</math> 的函數。

== 定理的叙述：欧几里得空间的情况 ==
设 {{math|''f'' : '''R'''<sup>''n+m''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} 为一个[[连续可微]]函数。这里{{math|'''R'''<sup>''n+m''</sup>}} 被看作是两个空间的[[直积]]： {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''m''</sup>}}，于是 {{math|'''R'''<sup>''n+m''</sup>}} 中的一个元素写成 {{math|1=('''x''','''y''')&nbsp;=&nbsp;(''x<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''x<sub>n</sub>'',&nbsp;''y<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''y<sub>m</sub>'')}} 的形式。 我們的目標是找到一個函數 {{math|''h'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ，讓這函數的圖形(graph of a function), {{math|('''x''', ''h''('''x'''))}}, 局部上恰好等於集合{ {{math|('''x''', '''y''') {{!}} ''f''('''x''','''y''') {{=}} '''0'''}}}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 {{math|''h''}} 的局部存在。

固定一点{{math|1=('''a''','''b''')&nbsp;=&nbsp;(''a<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''a<sub>n</sub>'',&nbsp;''b<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''b<sub>m</sub>'')}} 使得 {{math|1=''f''('''a''',&nbsp;'''b''')&nbsp;=&nbsp;'''0'''}}，我們希望在點 {{math|('''a''','''b''')}} 的附近找到一個 {{math|'''y'''}} 关于 {{math|'''x'''}} 的函数 {{math|''h''}}，严格来说，就是说存在 {{math|'''a'''}} 的鄰域 {{math|''U'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup>}} 和 {{math|'''b'''}} 的[[邻域]] {{math|''V'' ⊆ '''R'''<sup>m</sup>}} 以及函數：{{math|''h'' : ''U'' → ''V''}}，使得 {{math|''h''}} 的函數的圖形 {{math|('''x''', ''h''('''x'''))}} 剛好等於 {{math|''U'' × ''V''}} 中 {{math| ''f''('''x''','''y''') {{=}} '''0'''}} 的集合，也就是說：

:<math>\{ (\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) \mid \mathbf x \in U \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y})\in U \times V \mid f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0} \}</math>。

要保證这样的函数 {{math|''h''}} 存在，函数 {{math|''f''}} 的[[雅可比矩阵]]要满足某些性質。对于给定的一点 {{math|('''a''','''b''')}}，{{math|''f''}} 的[[雅可比矩阵]]写作：

:<math>(Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) =  \left[\begin{matrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &
    \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix} 
 \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\end{matrix}\right] = [X|Y]</math>

其中的[[矩阵]] <math>X</math> 是函數 {{math|''f''}} 关于變數 {{math|'''x'''}} 的偏微分，而矩陣 <math>Y</math> 是 {{math|''f''}} 关于變數 {{math|'''y'''}} 的偏微分。隐函数定理说明了：如果<math>Y</math>是一个[[逆矩阵|可逆]]矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 {{math|''U''}}、{{math|''V''}} 和函数 {{math|''h''(''x'')}} 就会存在。正式的敘述就是：

{{Quote box|align = center|width = 90%| quote = 设 {{math|''f'' : '''R'''<sup>n+m</sup> → '''R'''<sup>m</sup>}} 为[[连续可微]]函数，讓 {{math|'''R'''<sup>n+m</sup>}} 中的坐标记为 {{math|('''x''',&nbsp;'''y''')}}, {{math|('''x''', '''y''') {{=}} (''x<sub>1</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ..., ''y<sub>m</sub>'')}}。给定一点 {{math|1=&nbsp;(''a<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''a<sub>n</sub>'',&nbsp;''b<sub>1</sub>'',&nbsp;...,&nbsp;''b<sub>m</sub>'') = ('''a''','''b''')}} 使得 &nbsp; {{math|1=''f''('''a''','''b''')='''0'''}}（{{math|'''0''' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>}}，是個零向量）。如果 {{math|''m''×''m''}} 矩陣 {{math|[(∂''f<sub>i</sub>'' / ∂''y<sub>j</sub>'')('''a''', '''b''')}} 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 <math>Y</math>），那么存在 {{math|'''a'''}} 的邻域 {{math|''U'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup>}}、{{math|'''b'''}} 的邻域 {{math|''V'' ⊆ '''R'''<sup>m</sup>}} 以及唯一的连续可微函数 {{math|''h'':''U'' → ''V''}}，使得 
:<math>h(\mathbf{a}) = \mathbf{b}</math>
且
:<math>f(\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) = \mathbf{0},\,\,</math> 對所有的&nbsp;<math>\mathbf{x}\in U</math>。

}}

== 一般情形 ==
设<math>E_1</math>、<math>E_2</math>和<math>F</math>是三个巴拿赫空间，而<math>U</math>、<math>V</math>分别是<math>E_1</math>、<math>E_2</math>上的两个[[开集]]。设函数：
:<math>f : U \times V \rightarrow F</math>
是一個<math>k~(k \ge 1)</math>階[[光滑函数|可微函數]]（見[[Fréchet導數]]），并且对于<math>E_1 \times E_2</math>中的一点<math>(x_0, y_0)</math>，满足：
* <math>f(x_0, y_0)=0</math>
* 映射 <math>y\mapsto (Df(x_0, y_0))(0,y)</math> 是一個從<math>E_2</math>到<math>F</math>的同構
那么有如下结论：
: 存在<math>x_0</math>的[[邻域]] <math>U_0 \subset U</math> 、 <math>y_0</math>的[[邻域]] <math>V_0 \subset V</math> ，以及 <math>k</math> 階Fréchet可微函數<math>\varphi : U_0 \rightarrow V_0</math>，使得：
: 对任意<math>(x, y) \in U_0 \times V_0</math>，只要<math>f(x, y)=0</math>，就有<math>y = \varphi (x)</math>。

==参见==
*[[反函数定理]]
*[[不动点定理]]
*[[压缩映射定理]]
*[[微分]]

== 参考来源 ==
* {{en}}{{cite web|url=http://www.econ.iastate.edu/classes/econ500/hallam/documents/ImplicitFunction.pdf|title=The implicite function theorem|author=Arne Hallam|publisher=Iowa State University|access-date=2009-11-05|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507045032/http://www2.econ.iastate.edu/classes/econ500/hallam/documents/ImplicitFunction.pdf}}
*{{Cite book
 | ref = harv
 | last = Chiang
 | first = Alpha C.
 | title = Fundamental Methods of Mathematical Economics
 | url = https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1
 | publisher = McGraw-Hill
 | edition = 3rd
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*{{springer
 | title = Implicit function (in algebraic geometry)
 | id = i/i050320
 | last = Danilov
 | first = V.I.
}}.

*{{Cite book
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 | url = https://archive.org/details/advancedcalculus0000edwa
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 | year = 1994
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 | isbn = 978-0-486-68336-2
}}

*{{Cite book
 | ref = harv
 | first1 = K.
 | last1 = Fritzsche
 | first2 = H.
 | last2 = Grauert
 | year = 2002
 | url = https://books.google.com/books?id=jSeRz36zXIMC&lpg=PP1&dq=fritzsche%20grauert&hl=de&pg=PA34#v=onepage&q&f=false
 | title = From Holomorphic Functions to Complex Manifolds
 | publisher = Springer
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*{{Cite journal
 | ref = harv
 | first = K.
 | last = Jittorntrum
 | title = An Implicit Function Theorem
 | journal = Journal of Optimization Theory and Applications
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 | year = 1978
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}}

*{{springer
 | title = Implicit function
 | id = i/i050310
 | last = Kudryavtsev
 | first = Lev Dmitrievich
}}.

*{{Cite journal
 | ref = harv
 | first = S.
 | last = Kumagai
 | title = An implicit function theorem: Comment
 | journal = Journal of Optimization Theory and Applications
 | volume = 31
 | issue = 2
 | year = 1980
 | doi = 10.1007/BF00934117
}}

*{{Cite book
 | ref = harv
 | last = Lang
 | first = Serge
 | author-link=Serge Lang
 | title = Fundamentals of Differential Geometry
 | year = 1999
 | publisher = Springer
 | location = New York
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | isbn = 978-0-387-98593-0
}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]