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{{Unreferenced|time=2024-11-08T08:21:50+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{微積分學}}
在[[數學]]中，'''隱式方程'''（{{lang-en|implicit equation}}）是形同<math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0</math>的[[关系_(数学)|關係]]，其中<math>f</math>是[[多元函數]]。比如[[單位圓]]的隱式方程是<math>x^2+y^2-1=0</math>。

'''隱函数'''（{{lang|en|implicit function}}）是由隱式方程間接定義的[[函數]]，比如 <math>y=\sqrt{1-x^2}</math> 是由 <math>x^2+y^2-1=0</math> 確定的函數。而可以直接用含[[自变量]]的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的[[函数]]，如<math>y=\cos(x)</math>。

[[隱函數定理]]說明了隱式方程在什麼情況下會給出[[定義良好]]的隱函數。

==例子==
===反函数===
隐函数的一个常见类型是[[反函数]]。若<math> f</math>是一个函数，那么<math> f</math>的反函数记作<math> f^{-1}</math>, 是给出下面方程解的函数

:<math>x=f(y)</math>

用<math>x</math>表示<math>y</math>。这个解是

:<math> y = f^{-1}(x).</math>

直观地，通过交换''f''自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于<math>y</math>的解

:<math>R(x,y) = x-f(y) = 0. \, </math>

'''例子'''

# [[对数函数]] <math>\ln x</math> 给出方程<math>x-e^y=0</math>或等价的<math>x=e^y</math>的解<math>y=\ln x</math>。 这里<math>f(y)=e^y</math>并且<math>f^{-1}(x)=\ln x </math>。
# [[朗伯W函數]]則可以解出<math>x-ye^y=0</math>的<math>y</math>[[值]]。

===代数函数===
{{main|代数函数}}
一个'''代数函数'''是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 <math>x</math> 的代数函数给出一个方程中 <math>y</math> 的解。

:<math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \, </math>

其中係數 <math>a_i(x)</math> 為 <math>x</math> 的多項式函數。

代數函數在[[數學分析]]和[[代数几何]]中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

:<math>x^2+y^2-1=0. \, </math>

那麼 <math>y</math> 的顯函數解顯然是：

:<math>y=\pm\sqrt{1-x^2} \, </math>

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於<math>y</math>的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]），例如： 

:<math> y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0. \, </math>

但是，我们仍然可以以隐函数<math>y=g(x)</math>的方式来表达。

==隱函數的导数==
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
===方法一===
*把<math>n</math>元隐函数看作<math>(n+1)</math>元函数，通过[[多元函数]]的[[偏导数]]的商求得<math>n</math>元隐函数的导数。
====示例====
把一元隐函数<math>y=g(x)</math>看作二元函数<math>f(x,y)=0</math>，若欲求<math>\frac {dy}{dx}</math>，對<math>f</math>取全微分，可得<math>df(x,y)=f_xdx+f_ydy=0</math>，經過移項可得<math>\frac {dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}</math>

（式中<math>f_x</math>表示<math>f(x,y)</math>關於<math>x</math>的偏导数<math>\frac {\partial f}{\partial x}</math>，以此類推）。

把2元隐函数<math>y=g(x,z)</math>看作3元函数<math>f(x,y,z)=0</math>，若欲求<math>\frac {\partial y}{\partial x}</math>，對<math>f</math>取全微分，可得<math>df(x,y,z)=f_xdx+f_ydy+f_zdz=0</math> 。

由於所求為<math>\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}</math>，令z為常數，即<math>dz=0</math>，經過移項可得<math>\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_y}</math>

===方法二===
*針對1元隱函數，把<math>y</math>看作<math>x</math>的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对<math>x</math>求导，再通过移项求得<math>\frac {dy}{dx}</math>的值。
*針對2元隱函數，把<math>y,z</math>看作<math>x</math>的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对<math>x</math>求导，令<math>dz=0</math>，再通过移项求得<math>\frac {\partial y}{\partial x}</math>的值。
====示例====
*針對<math>y^n</math>：

<math>\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}</math>

*針對<math>x^m y^n</math>：

<math>\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n</math>

*求<math>\ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10</math>中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

<math>{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10</math>

1.兩邊皆取其相應的[[導數]]，得出

<math>{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0</math>

2.移項處理。

<math>{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}</math>

3.提出導數因子。

<math>{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)</math>

4.移項處理。

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}</math>

5.完成。得出其導數為<math>\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}</math>。

6.選擇性步驟：[[因式分解]]。

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}</math>

==參見==
*[[反函數]]

[[Category:微分学]]
[[Category:分析定理]]
[[Category:多变量微积分]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:代数几何]]