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{{Expert needed|subject=测度论|subject2=概率论|subject3=随机过程|time=2024-08-20}}

在[[概率论]]中，'''随机测度'''是[[测度]]值的[[随机元素]]。  随机测度可应用于[[随机过程]]理论中，随机测度形成了许多重要的[[点过程]]，例如[[泊松过程|泊松点过程]]和{{Le|考克斯过程|Cox process}}。

== 定义 ==

随机测度可以定义为[[转移核]]或[[随机元素]]。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是[[博雷尔集|博雷尔空间]]），这两种定义是等价的。

=== 作为转移核 ===

对于可测空间 <math>(S,\mathcal S), (T, \mathcal T)</math> ，称 <math> \zeta </math> 是一个 <math>(S,\mathcal S)</math> 到 <math>(T, \mathcal T)</math> 的'''转移核'''，是指它是一个二元函数 <math> \zeta: S\times \mathcal T\to\mathbb R^+ </math> （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如[[有符号测度]]），且满足以下性质：

* 若在第二变元处填充任一固定的可测集 <math> B \in \mathcal \mathcal S </math> ，所得到的映射 <math>s\mapsto\zeta(s, B)</math> 是 <math> (S, \mathcal S) </math> 上的[[可测函数]]。

* 若在第一变元处填充任一固定的元素 <math>s\in S</math> ，所得到的映射 <math>B \mapsto \zeta(s, B)</math> 是 <math>(T, \mathcal T)</math> 上的一个[[测度]]。

对于 <math>(S,\mathcal S), (T, \mathcal T)</math> 为[[博雷尔集|博雷尔空间]]的情况，[[局部有限测度|局部有限]]转移核可视作随机元素。

'''随机测度'''则定义为一个[[機率空間|概率空间]] <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> 到一个可测空间 <math> (E, \mathcal E) </math> 的（[[几乎必然]]）[[局部有限测度|局部有限]][[转换核|转移核]]。

在[[随机过程]]的背景下，[[马尔可夫核]]（也称随机核、概率核）的概念与此相关。

=== 作为随机元素 ===

在前文中，「在第一变元处填充一固定的元素」的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个{{注释|技术上来说，可能默认提及的博雷尔空间带有[[局部化]]结构。}} <math>(S,\mathcal S)</math> 到 <math>\mathcal M_{\mathcal T}</math> 的[[可测函数]]，其中 <math>\mathcal M_{\mathcal T}</math> 是 <math>(T, \mathcal T)</math> 上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合 <math>\mathcal M_{\mathcal T}</math> 若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合 <math>\tilde B</math> ，可定义求值映射（也称'''投影映射'''）

<math>\pi_{\tilde B }:\mathcal M_{\mathcal T}\to \R:\mu\mapsto\mu(\tilde B).</math>

可构造出令全体投影映射成为可测函数的[[最小σ-代数]]，称为 <math>\{\pi_{\tilde B }\}</math> '''生成'''的（或诱导的）σ-代数。

'''随机测度'''即是一个概率空间 <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。<ref name="Kallenberg1"> {{Cite book|last=Kallenberg|first=Olav|authorlink=Olav Kallenberg|year=2017|title=Random Measures, Theory and Applications|series=Probability Theory and Stochastic Modelling|volume=77|location=Switzerland|publisher=Springer|page=1|doi=10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFKallenberg2017">[[奥拉夫·卡伦伯格|Kallenberg, Olav]] (2017). ''Random Measures, Theory and Applications''. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol.&nbsp;77. Switzerland: Springer. p.&nbsp;1. [[DOI|doi]]:[[doi:10.1007/978-3-319-41598-7|10.1007/978-3-319-41598-7]]. [[国际标准书号|ISBN]]&nbsp;[[特价：BookSources/978-3-319-41596-3|<bdi>978-3-319-41596-3</bdi>]].</cite> </ref><ref name="Klenke526"> {{Cite book|last=Klenke|first=Achim|year=2008|title=Probability Theory|location=Berlin|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-84800-048-3|isbn=978-1-84800-047-6|page=526}} </ref><ref name="daleyPPI2003">{{Cite book|doi=10.1007/b97277|first=D. J.|last=Daley|first2=D.|last2=Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes|series=Probability and its Applications|year=2003|isbn=0-387-95541-0}}</ref>

== 基本相关概念 ==

=== 强度测度 ===
对于给定随机测度 <math> \zeta</math> 和任一正可测函数 <math> f </math> ，满足

: <math> \operatorname E \left[ \int f(x) \; \zeta (\mathrm dx )\right] = \int f(x) \; \operatorname E \zeta (\mathrm dx)</math>

的测度 <math> \operatorname E \zeta </math> 被称为 <math> \zeta</math> 的'''强度测度'''。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是[[s-有限测度]]。

=== 支撑测度 ===
对于给定的随机测度 <math> \zeta</math> 和任一正可测函数 <math> f </math> ，满足

: <math> \int f(x) \; \zeta(\mathrm dx )=0 \text{ a.s. } \text{ iff } \int f(x) \; \nu (\mathrm dx)=0</math>

的测度 <math> \nu </math> 被称为 <math> \zeta</math> 的'''支撑测度'''。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。

=== 拉普拉斯变换 ===
给定随机测度 <math> \zeta</math> ，可定义任一正可测函数 <math> f </math> 的[[拉普拉斯变换]]如下

: <math> \mathcal L_\zeta(f)= \operatorname E \left[ \exp \left( -\int f(x) \; \zeta (\mathrm dx ) \right) \right].</math>

== 基本性质 ==

=== 积分的可测性 ===
给定随机测度 <math> \zeta </math> ，正的 <math> \mathcal E </math>-可测函数 <math> f </math> 的积分

: <math> \int f(x) \zeta(\mathrm dx) </math>

和<math> \zeta(A) := \int \mathbf 1_A(x) \zeta(\mathrm dx) </math>

是可测的，所以它们是[[随机变量]]。

=== 唯一性 ===
随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定

: <math> \int f(x) \zeta(\mathrm dx), </math>

其中 <math> f </math> 是 <math> E </math> 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 <math> \mathcal E </math> （即 <math> \sigma(\mathcal I)=\mathcal E </math> ）的[[半环]] <math> \mathcal I \subset \mathcal E </math> ，随机测度的分布也由所有正[[简单函数|简单]] <math> \mathcal I </math>-可测函数 <math> f </math> 唯一确定。<ref name="Kallenberg52"> {{Cite book|last=Kallenberg|first=Olav|authorlink=Olav Kallenberg|year=2017|title=Random Measures, Theory and Applications|series=Probability Theory and Stochastic Modelling|volume=77|location=Switzerland|publisher=Springer|page=52|doi=10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3}} </ref>

=== 分解 ===
一个测度通常可以分解为：

: <math> \mu=\mu_d + \mu_a = \mu_d + \sum_{n=1}^N \kappa_n \delta_{X_n}, </math>

这里 <math>\mu_d</math> 是弥散测度，而 <math>\mu_a</math> 是一种纯原子测度。

== 随机计数测度 ==
具有下列形式的随机测度称为'''[[点过程]]'''或'''随机计数测度'''：

: <math> \mu=\sum_{n=1}^N \delta_{X_n}, </math>

其中 <math>\delta</math> 是[[狄拉克测度]]、 <math>X_n</math> 是随机变量。该随机测度描述了''<math>N</math>'' 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量 <math>X_n</math> 给出。计数测度没有弥散分量 <math>\mu_d</math> 。

在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间 <math>(N_X,\mathfrak{B}(N_X))</math> 的映射。这里 <math>N_X</math> 是全体有界有限整数值测度（称为[[计数测度]]）<math>N \in M_X</math> 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于[[点过程]]的定义。随机测度在[[蒙地卡羅方法|蒙特卡罗方法]]的描述和分析中很有用，例如[[數值積分|蒙特卡罗数值求积法]]和[[粒子濾波器|粒子滤波器]]。<ref name="crisan">"Crisan, D., ''Particle Filters: A Theoretical Perspective'', in ''Sequential Monte Carlo in Practice,'' Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, {{ISBN|0-387-95146-6}}</ref>

== 参见 ==

* [[泊松过程]]
* [[向量测度]]

== 参考资料 ==

{{refbegin}}
* {{cite journal |last1=Grandell |first1=Jan |title=Point processes and random measures |journal=Advances in Applied Probability |date=1977-09 |volume=9 |issue=3 |pages=502–526 |doi=10.2307/1426111}}
{{refend}}

=== 文内引用 ===
<references>
<ref name="crisan">"Crisan, D., ''Particle Filters: A Theoretical Perspective'', in ''Sequential Monte Carlo in Practice,'' Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, {{ISBN|0-387-95146-6}}</ref>
</references>

=== 注释 ===
{{noteFoot}} 

[[Category:随机过程]]
[[Category:测度]]