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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Divide20by4.svg|thumb|250px|將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即{{計算結果|20÷4}}；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為{{計算結果|20÷5}}]]
{{算术运算}}

[[数学]]中，尤其是在基本[[算术|计算]]裏，'''除法'''（{{lang-en|division}}）可以看成是「'''[[乘法]]的反运算'''」，也可以理解为「'''重复的[[减法]]'''」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为<math>1</math>，得出同比的被除数的值」。

例如：{{計算結果|6÷3}}，就好像{{計算結果|6-3-3}}，
<math>
\begin{cases}
6-3 = 3 \\
3-3 = 0
\end{cases}
</math>，<math>6</math>被<math>3</math>減了兩次後，就變成了<math>0</math>。

如果
:<math>a \times b = c </math>
而且<math>b</math>[[不等于]][[零]]，那么
:<math>a = c \div b </math>

其中，a称为'''[[商数]]'''，b称为'''除数'''，c称为'''被除数'''。

如果除式的商數（<math>a</math>）必須是[[整數]]，则称为[[带餘除法]]，<math>a \times b</math>与<math>c</math>相差的数值，称为'''[[餘數]]'''（<math>d</math>）。
:<math>c \div b = a \dots d</math>

這也意味著
:<math>c = a \times b + d</math>

在[[高等数学]]（包括在[[科学]]与[[工程学]]中）和[[程序设计语言|计算机编程语言]]中，<math>c \div b</math>写成<math>c/b</math>。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为[[分数]]的最终形式。其中尋找商數的[[函數]]為<math>\operatorname{div}</math>，尋找餘數的函數則為<math>\operatorname{mod}</math>。

在大部分的非[[英语]]语言中，<math>c:b</math>代表<math>c \div b</math>的'''比'''，讀做c比b；<math>c/b</math>則代表<math>c \div b</math>的'''比值'''。用法请参照[[比例]]。

== 整除 ==
'''整除'''是[[数学]]中两个[[自然数]]之间的一种[[关系 (数学)|关系]]。自然数<math>a</math>可以被自然数<math>b</math>整除，是指<math>b</math>是<math>a</math>的[[因數]]，且a是b的[[整数]][[倍数]]，也就是<math>a</math>'''除以'''<math>b</math>没有[[餘数]]。
:<math>a \div b = q \dots 0</math>
因數判別法可參照[[整除規則]]。

=== 表示法 ===
<math>b \mid a</math>表示<math>b</math>整除<math>a</math>，即<math>a</math>是<math>b</math>的倍数，<math>b</math>是<math>a</math>的[[因数]]。

=== 举例 ===
<math>15</math>可以被<math>5</math>整除，记作<math>5 \mid 15</math>。

<math>20</math>不能被<math>6</math>整除（因为餘数为<math>2</math>），记作<math>6 \nmid 20</math>。在<math>\mid</math>上加一条[[斜线]]即表示不整除。

== 除法计算 ==
根据[[乘法表]]，两个整数可以用[[长除法]]（直式除法）笔算。如果被除数有[[分数]]部分（或者说时[[小数点]]），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

[[算盘]]也可以做除法运算。

=== 長除法 ===
[[長除法]]俗稱「'''長除'''」，適用於正式除法、[[小數]]除法、[[多項式]]除法（即[[因式分解]]）等較重視計算過程和[[商數]]的除法，過程中兼用了[[乘法]]和[[減法]]。

使用長除法計算{{計算結果|1260257/37}}的過程可以表示為：
[[File:LongDivisionAnimated.gif|right|thumb|<math>1260257 \div 37</math>的演算過程]]
:<math>
\begin{array}{l}
37 \ \big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\! \! \! \! \!
\begin{array}{r}
34061 \\ \hline
\ 1260257 \\
111 \quad \quad \\ \hline
150 \quad \ \ \\
148 \quad \ \ \\ \hline
225 \ \ \\
222 \ \ \\ \hline
37 \\
37 \\ \hline
0 \\
\end{array}
</math>

=== 短除法 ===
[[短除法]]是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

* 使用短除法計算<math>3 \div 7</math>的近似值：
::<math>
\begin{array}{r}
7 \ | \! \underline{\, \ 3.00000000000000000 \dots \ } \\
0.42857142857142857 \dots \ 
\end{array}
</math>

* 使用短除法計算<math>420</math>的[[質因數分解]]：
::<math>
\begin{array}{r}
2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \ } \\
2 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \ } \\
3 \ | \! \underline{\, \ 105 \ } \\
5 \ | \! \underline{\, \ 35 \ } \\
7 \ 
\end{array}
</math>

::<math>420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7</math>

* 使用短除法計算<math>420,270</math>的[[最大公因數]]及[[最小公倍數]]：
::<math>
\begin{array}{r}
2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \quad 270 \ } \\
3 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \quad 135 \ } \\
5 \ | \! \underline{\, \ 70 \quad \ \ 45 \ } \\
14 \quad \ \ \ \ 9 \ 
\end{array}
</math>

::<math>
\begin{cases}
\gcd(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \\
\operatorname{lcm}(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 \times 14 \times 9 = 3780
\end{cases}
</math>
==[[多項式]]的除法==
{{main|综合除法}}
和[[整数]]之间的[[带余除法]]类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式<math>A</math>和非零多项式<math>B</math>，则存在唯一的多项式<math>Q</math>和<math>R</math>，满足：
:<math>A = BQ + R </math>
而多项式<math>R</math>若非零多项式，則其冪次严格小于<math>B</math>的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式<math>P</math>除以一次多项式<math>X-a</math>得到的餘多项式，可以直接将<math>a</math>代入到多项式<math>P</math>中。<math>P</math>除以<math>X-a</math>的餘多项式是<math>P(a)</math>。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算<math> X^3 - 12X^2 - 42</math>除以<math>X-3</math>，列式如下：
:<math>
\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\
\qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\
\;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123
\end{matrix}
</math>

因此，商式是<math>\ X^2 - 9X - 27 </math>，餘式是<math>\ -123 </math>。

==重要性質==
通常不定义[[除以零]]这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數'''無意義'''。

== 参见 ==
* [[筹算#除法|筹算除法]]
* [[同餘]]
* [[余数]]
* [[带餘除法]]

{{Fractions and ratios}}
{{四则运算}}

{{Authority control}}
[[Category:二元運算|C]]
[[Category:除法|C]]