查看“︁除數函數”︁的源代码

{{Expand|time=2013-02-14T04:40:51+00:00 }}{{Expand language|en|page=Divisor function}}{{NoteTA|G1=Math}}
在[[數論]]上，'''除數函數 <math>\sigma_x(n)</math>''' 是一類[[算術函數]]，定義為 ''<math>n</math>'' 的正因數的 <math>x</math> 次冪之和，即 <math>\sigma_x(n) = \sum_{d|n} d^x</math>。

其中一些特殊情況：
* <math>\sigma_0(n)</math> ：<math>n</math> 的正因數的數目
* <math>\sigma_1(n)</math> ：<math>n</math> 的正因數之和（包括自己），若扣除<math>n</math>本身則稱為[[真因數和]]。

{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+ 部分 '''<math>\sigma_x(n)</math>''' 的值
! rowspan="2" |''<math>n</math>''
! colspan="3" |<math>x</math>
|-
! 0
! 1
! 2
|-
! 1
| 1
| 1
| 1
|-
! 2
| 2
| 3
| 5
|-
! 3
| 2
| 4
| 10
|-
! 4
| 3
| 7
| 21
|-
! 5
| 2
| 6
| 26
|-
! 10
| 4
| 18
| 130
|-
! 12
| 6
| 28
| 210
|-
! 20
| 6
| 42
| 546
|-
! 25
| 3
| 31
| 651
|}

== 性質 ==
* <math>\sigma_x(n)</math> 都是[[積性函數]]，但不是完全積性。
* <math>\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}</math>，其与 <math>
\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = 
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})
</math>（<math>n</math> 的各因數的 <math>x</math> 次方後的和，其在 <math>x=1</math> 時即為 <math>n</math> 包括 <math>n</math> 本身在內的各因數的和）相等。
* <math>\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}.</math>
* <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a).</math>
* <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.</math>

==參考==
* Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:积性函数]]
[[Category:除數函數| ]]

[[de:Teilersumme]]
[[hu:Osztóösszeg-függvény]]
[[pl:Funkcja σ]]