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[[数学]]上，特别是在[[代数拓扑]]和[[微分几何]]中，'''陈类'''（{{Lang-en|'''Chern class'''}}，或稱'''陳氏類'''）是一类复[[向量叢]]的[[示性类]]，类比于{{Link-en|斯蒂弗尔-惠特尼类|Stiefel-Whitney class}}作为实[[向量叢]]的[[示性类]]。

陈类因[[陈省身]]而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

== 定义 ==
给定一个[[拓扑空间]]''X''上的一个复[[向量丛]]''E'', ''E''的陈类是一系列''X''的[[上同调]]的元素。''E''的'''第''k''个陈类'''通常记为''c<sub>k''(''E''),是''X''的[[整数]]系数的上同调群''H<sup>2k</sup>''(''X'';''Z'')中的一个元素，并且满足如下公理:

'''公理1.''' 对于任何<math>E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \mathbb{Z})</math>

'''公理2.''' 自然性：如果<math> E\to X</math>是一个复[[向量丛]]，<math>f: Y \to X </math>是一个[[连续映射]]，<math> f^*E\to Y</math>是[[拉回]]的向量丛，那么对任意k，<math> c_k(f^*E)=f^*(c_k(E))\in H^{2k}(Y; {\mathbb Z})</math>

'''公理3.''' 惠特尼求和公式：如果<math> E_1, E_2\to X</math>是两个复向量丛，那么它们的[[直和]]<math>E_1\oplus E_2</math>的陈类是

<math>c_k(E_1\oplus E_2)= \sum_{i=0}^k c_i(E_1)\cup c_{k-i} (E_2)</math>

'''公理4.''' 如果<math>H \to {\mathbb P}^1 </math>是复射影直线上的[[超平面丛]]，那么<math>c_1(H)</math>的[[庞加莱对偶]]是<math> 1\in H_0({\mathbb P}^1; {\mathbb Z})</math>

== 陈数 ==
任何陈类的积分是一个[[整数]]，叫'''陈数'''，有时候给[[卷绕数]]。

在物理学中，陈数有很多应用。例如第一陈数

<math>\phi = \int c_1 </math>

<math>e^{i\phi / \hbar} </math>

描述[[阿哈罗诺夫－玻姆效应]]。第二陈数描述一种流形边界的[[陈-西蒙斯理论]]：

<math>\int_M c_2 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M dCS_3 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} CS_3  </math>

在物理学中，这有时候被叫做theta term，描述Witten效应、[[瞬子]]（第三[[同倫]]类）、[[軸子]]、{{Le|Dyon|Dyon}}等等。

<math>S(A) = YM + \theta \int_M c_2  </math>

其中的''YM''是[[杨-米尔斯理论|杨-米尔斯]]的[[作用量]]。

== 陈-西蒙斯理论 ==
[[陈-西蒙斯形式]]跟陈类有关：

<math>c_{k} = \frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi})^k tr(F^k) = \frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi})^k dCS_{2k+1}</math>

== 陈示性 ==
若F是[[曲率形式]]，陈示性是

<math>ch(V) = [ tr(\exp(iF / (2\pi)) ]</math>

而且

<math>ch(V \oplus W) = ch(V) + ch(W)</math>

<math>ch(V \otimes W) = ch(V) \ ch(W)</math>

比方说，若V是U(1)[[主丛]]（阿贝尔[[规范理论|规范]]）

<math>ch(V) = \exp(c_1(V)) </math>

== 等价定义 ==
同时，有很多处理这个定义的办法：[[陈省身]]最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过[[同伦理论]]定义的，该理论提供了把''E''和一个[[分类空间]]（在这个情况下是[[格拉斯曼流形]]联系起来的映射）；还有[[亚历山大·格罗滕迪克]]的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在[[代数几何]]中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。
<!--The intuitive meaning of the Chern class concerns 'required zeroes' of a [[section]] of a vector bundle: for example the theorem saying one can't comb a hairy ball flat ([[hairy ball theorem]]), though that is strictly speaking a question about a ''real'' vector bundle. 
注:
该段在英文版似乎有争议
-->

== 殆复流形的陈类和配边 ==
陈类的理论导致了[[殆复流形]]的[[配边]]不变量的研究。

若''M''是一个复流形，则其[[切丛]]是一个复向量丛。''M''的''陈类''定义为其切丛的陈类。若''M''是[[紧]]的2''d''维的，则每个陈类中的2''d''次[[单项式]]可以和''M''的[[基本类]]配对，得到一个整数，称为''M''的。

若''M''&prime;是另一个同维度的近复流形，则它和''M''配边，当且仅当''M''&prime;和''M''陈数相同.

== 推广 ==
陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个[[广义上同调群理论]]所代替。使得这种一般化成为可能的称为[[复可定向]]的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个[[形式化群法则]]（{{Lang|en|formal group law}}）。

== 应用 ==

* [[拓扑K-理论]]
* [[陳－韋伊同態]]

物理学

* [[阿哈罗诺夫－玻姆效应]]
* [[軸子]]
* [[杨-米尔斯理论]]
* [[瞬子]]
* [[拓扑量子场论]]

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Chern | first1=Shiing-Shen | title=Characteristic classes of Hermitian manifolds | id={{MathSciNet | id = 0015793}} | year=1946 | journal=[[数学年刊|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=47 | pages=85-121}}
* [[约翰·米尔诺|Milnor, John W.]]; Stasheff, James D. ''Characteristic classes''. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
* [[陈省身|Chern, Shiing-Shen]] ''Complex Manifolds Without Potential Theory'' (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

[[Category:陈省身]]
[[Category:同调论|C]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:微分几何|C]]
[[Category:微分拓扑学|C]]
[[Category:陈-西蒙斯理论]]
[[Category:中国数学发现]]