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[[File:Hadamards gamma function plot.png|300px|thumb|阿達馬伽瑪函數]]
{{函數圖形|title=一般Γ函數與阿达马Γ函數|start=0|end=4.2|sampling=100|width=200|height=200|min=-3|max=8|interpolate=cardinal|number class=複數
|1 name=Γ(x)
|2 name=H(x)
|gamma(range(x,0.1,4.2))
|re(1/gamma(1-x)*diff(:t↦log(gamma(1/2-t/2)/gamma(1-t/2));,x))
|caption=Γ函數（藍色）、阿达马Γ函數（橘色），其值在[[正整數]]時相同
}}
在[[數學]]中，'''阿達馬伽瑪函數'''或'''阿達馬的伽瑪函數'''（Hadamard's gamma function）是除了[[伽瑪函數]]之外的另一種[[階乘]]的擴展定義方式，以[[雅克·阿达马]]命名。此[[函數]]可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到[[實數]]和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：
:<math>H(x) = \frac{1}{\Gamma (1-x)}\,\dfrac{d}{dx} \left \{ \ln \left (  \frac{\Gamma ( \frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{\Gamma (1-\frac{x}{2})}\right ) \right \}</math>

其中，{{math|Γ(''x'')}}是一般的伽瑪函數。若{{math|''n''}}為[[正整數]]，則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等：
:<math>H(n) = \Gamma(n) = (n-1)! \, </math>

== 性質 ==
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同，阿達馬伽瑪函數沒有[[奇点 (数学)|奇點]]，是一個完全連續的函數，並且滿足下面等式：
:<math>H(x+1)=x\, H(x) + \frac{1}{\Gamma(1-x)}</math>
其中<math>\tfrac{1}{\Gamma(1-x)}\to 0</math>在<math>x</math>趨近[[正整數]]時趨近為0。
{| class="wikitable"
|[[File:Complex plot for Hadamards gamma function.png|250px]]
|[[File:Complex plot for gamma function re and im between -9 to 9.png|250px]]
|-
|阿達馬伽瑪函數||一般伽瑪函數
|-
|colspan=2 align=center|的[[複變函數圖形]]
|}

{| class=wikitable
|[[File:Complex plot for gamma function minus Hadamard's gamma function re and im between -9 to 9.png|200px]]
|[[File:Complex plot for log of gamma function minus Hadamard's gamma function re and im between -9 to 9.png|200px]]
|[[File:Complex plot for abs of gamma function minus Hadamard's gamma function re and im between -9 to 9.png|200px]]
|[[File:Complex plot for ratio of Hadamard's gamma and gamma function re and im between -9 to 9.png|200px]]
|-
|<math>\Gamma(x)-H(x)</math>||<math>\ln(\Gamma(x)-H(x))</math>||<math>\left|\Gamma(x)-H(x)\right|</math>||<math>\frac{H(x)}{\Gamma(x)}</math>
|-
|colspan=4|阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係

由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。

絕對值越小顏色越深，紅色是正實數、水藍色是負實數

可以看到在正整數的上兩函數相等。
|}

== 其他表示法 ==
阿達馬伽瑪函數可以用[[双伽玛函数]]表示：
:<math>H(x)=\frac{\psi\left ( 1 - \frac{x}{2}\right )-\psi\left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right )}{2\,\Gamma (1-x)}</math>
:<math>H(x) = \Gamma(x) \left [ 1 + \frac{\sin (\pi x)}{2\pi} \left \{ \psi \left ( \dfrac{x}{2} \right ) - \psi \left ( \dfrac{x+1}{2} \right ) \right \} \right ], </math>
其中，{{math|ψ(''x'')}}表示[[双伽玛函数]]。

== 參考文獻 ==
{{Refbegin}}
# {{citation
|first=M. J.
|last=Hadamard
|title=Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière
|publisher=''OEuvres de Jacques Hadamard'', Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
|url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf
|year=1894
|language=fr
|accessdate=2018-11-25
|archive-date=2021-02-25
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210225153654/http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf
|dead-url=no
}}
#{{cite book |last1=Srivastava |first1=H. M. | last2=Junesang | first2=Choi | title = Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals | publisher = Elsevier insights | chapter= | year = 2012 | isbn=0123852188 |pages=124}}
#{{cite web |website=The Wolfram Functions Site |url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/introductions/Gamma/ShowAll.html |title=Introduction to the Gamma Function |publisher=Wolfram Research, Inc |access-date=27 February 2016 |archive-date=2021-05-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210507012625/https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/introductions/Gamma/ShowAll.html |dead-url=no }}
{{Reflist}}
{{Refend}}

[[Category:伽玛及相关函数]]