查看“︁阿达马不等式”︁的源代码

[[数学]]中的'''阿达马不等式'''給出一個基於''n''维[[复数 (数学)|複]][[矩陣]][[行向量與列向量|-{zh-hans:列向量;zh-hant:行向量;}-]]的[[行列式]]值[[上界]]。當僅套用於[[實數]]時，其可以在[[歐幾里得空間]]中，由''n''支[[向量]]<math>\mathbf{v}_1</math>, <math>\mathbf{v}_2</math>, <math>\ldots \mathbf{v}_n </math>标出的体积。'<ref>{{cite web|accessdate=2021-05-11|title=Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hadamard_theorem#Hadamard.27s_theorem_on_entire_functions|website=encyclopediaofmath.org|archive-date=2021-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210513043716/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hadamard_theorem#Hadamard.27s_theorem_on_entire_functions|dead-url=no}}</ref>

这不等式的几何意义是当向量为[[正交基|正交集]]时体积最大。这结果相对于[[标量乘法]]齊次，所以只需证明[[单位向量]]<math>\mathbf{e}_1</math>, <math>\mathbf{e}_2</math>, <math>\ldots \mathbf{e}_n</math>的结果。在这情况，不等式指出：若<math>\mathbf M</math>是以<math>\mathbf{e}_i</math>为列向量的''n''&times; ''n'' [[矩阵]]，则

:<math>|\det(\mathbf{M})| \leq 1</math>。

因此，向量<math>\mathbf{v}_i</math>的相应结果是

:<math>|\det(\mathbf{A})| \leq \prod \|\mathbf{v}_i\|</math>，

其中<math>\mathbf A</math>是以<math>\mathbf{v}_i</math>为列向量的矩阵，而<math>\|\mathbf{v}_i\|</math>是<math>\mathbf{v}_i</math>的歐幾里得[[范数]]（长度）。（就是說若<math>\mathbf{v}_i</math><math>=(x_k)_{k=1}^n</math>，則

: <math>\|\mathbf{v}_i\|</math><math>= \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}</math>。）

在[[组合数学]]中，使等式成立以及列向量<math>\mathbf{v}_i</math>的元素为+1和&minus;1的矩阵是研究对象，它们称为[[阿达马矩阵]]。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

==外部链接==
*[http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2215/ 科学空间：体积与阿达马不等式] {{Wayback|url=http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2215/ |date=20150131021854 }}
{{math-stub}}

[[Category:几何不等式]]
[[Category:线性代数]]