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{{no footnotes|time=2018-03-20T03:03:02+00:00}}
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'''阿贝尔求和公式'''是由[[尼尔斯·阿贝尔]]所发现，广泛应用于[[数论]]之中，以便用来计算[[级数]]。

==恒等式==

设<math>a_n </math>为一[[序列|列]]由[[实数]]或[[複數 (數學)|複數]]，<math>\phi</math>是一個[[可微函数#连续可微的分类|連續可導]][[函数]]，则

<math>\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u </math>

其中<math>A(x)</math>是部分和

:<math>A(x):= \sum_{1 \le n \le x} a_n \,.</math>

而且这正是對[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]运用[[分部积分法]]所得到的。

更一般情況，有

:<math>\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,.</math>

==例==
===欧拉-马斯刻若尼常数===
设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x}</math>，則<math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>，恆等式變為

:<math> \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u,</math>

因此是一种可以表示[[欧拉-马斯刻若尼常数]]的方式。

===黎曼ζ函数的表示===
设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x^s}</math>，則<math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>，故

:<math> \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>

公式在<math>\Re(s) > 1</math>時成立，并且可以用来推导[[狄利克雷定理]]，其斷言，若以<math>\zeta </math>表示[[黎曼ζ函数]]，則<math>\zeta(s) </math>在''s''&nbsp;=&nbsp;1處有[[留数]]为1的简单[[极点 (复分析)|極點]]。

===黎曼ζ函数的倒数===
设<math>a_n = \mu (n) </math>，<math>\mu</math>為[[默比乌斯函数]]，且<math>\phi (x) = \frac{1}{x^s}</math>，則<math>A (x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu (n) </math>，故<math>A</math>為[[梅滕斯函数]]，而恆等式變成

:<math> \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>

上式在<math>\Re(s) > 1 </math>時成立。

==参见==
*[[分部积分法]]
*[[黎曼ζ函数]]

==参考文献==
* {{citation|first=Tom|last=Apostol|authorlink=Tom Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer-Verlag|series=[[数学大学生教材]]|year=1976}}.

[[Category:数论]]
[[Category:可和法]]