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{{NoteTA|G1=Math}}

'''阿廷模'''是[[抽象代數]]中一類滿足[[降鏈條件]]的模。

==定義==
以下固定一個[[环 (代数)|環]] <math>A</math>。設 <math>M</math> 為左 <math>A</math>-[[模]]，當 <math>M</math> 滿足下列，則稱 <math>M</math> 為'''阿廷模'''：
: 對所有由 <math>M</math> 的子模構成的降鏈 <math>M_1 \supset M_2 \supset \cdots</math>，存在 <math>N \in \mathbb N</math> 使得 <math>i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1}</math>；換言之，此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模，可得到'''右阿廷模'''的定義。

==性質==
* 若 <math>A</math> 是 <math>k</math>-[[交換環上的代數|代數]]，任何在 <math>k</math> 上有限維的 <math>A</math>-模都是阿廷模。
* 若 <math>N \subset M</math>，且 <math>N</math> 與 <math>M/N</math> 皆為阿廷模，則 <math>M</math> 為阿廷模。
* 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
* 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非[[諾特模]]的阿廷模，以下將給出一個例子：
: 令 <math>M := \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}</math>，視之為 <math>\mathbb Z</math>-模。升鏈
: <math>\langle 1/p \rangle \subset \langle 1/p^2 \rangle \subset \langle 1/p^3 \rangle \cdots</math>
: 不會固定，因此 <math>M</math> 並非諾特模。然而我們知道 <math>M</math> 的任何子模皆形如 <math>\langle 1/n \rangle</math>，由此可知任何降鏈皆可寫成
: <math>\langle 1/n_1 \rangle \supset \langle 1/n_2 \rangle \supset \langle 1/n_3 \rangle \cdots</math>
: 其中 <math>n_{i+1} | n_i </math>，故將固定，於是 <math>M</math> 是阿廷模。

==文獻==
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

{{ModernAlgebra}}


[[Category:交換代數|A]]
[[Category:模論|A]]