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{{Otheruses|subject=數學公理或定理|other=物理學定律|阿基米德浮體原理}}
{{NoteTA |G1=Math
}}
[[File:Archimedean property.png|thumb|阿基米德公理的示意圖]]
在[[抽象代数]]和[[分析学]]中，以古希腊数学家[[阿基米德]]命名的'''公理'''，是一些赋范的[[群]]、[[域 (數學)|域]]和[[代数结构]]具有的一个性质，可表述如下：

對於任何正實數 <math>a</math> 及 <math>b</math>，即使 <math>a</math> 多麼小，或是 <math>b</math> 多麼大，也必定存在自然數 <math>n</math>，使得 <math>an>b</math>。

這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有[[无穷大]]或[[无穷小]]性質的元素。

这个概念源于古希腊对[[量 (数学)|量]]的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家{{le|奥托·施托尔茨|Otto Stolz}}赋予它这个名字<ref>{{Cite mathworld|urlname=ArchimedesAxiom|title=Archimedes Axiom|access-date=2016-01-05 |archive-date=2021-04-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210429043505/https://mathworld.wolfram.com/ArchimedesAxiom.html |dead-url=no }}</ref>。

在現代[[實分析]]中，這性質不是一個[[公理]]，而是退卻為實數具[[完備空間|完備性]]的結果。基於這理由，常以'''性質'''的叫法取而代之。

此性質在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有關[[有序群]]、[[有序域]]和[[局部域]]的理论，以及[[大卫·希尔伯特]]的几何公理系統。

== 形式敘述以及證明 ==

=== 解釋 ===
簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

#給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
#給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說，對於任何'''正[[實數]]'''<math>a</math>、<math>b</math>，如果<math>a < b</math>，則存在[[自然數]]<math>n</math>，有

::: <math> \underbrace{a+\cdots+a}_{n\text{ terms}} > b </math>

=== 与實數的完備性的关系 ===
實數的完備性蘊含了阿基米德性質，[[證明]]利用了[[反證法]]：

假設對所有<math>n</math>，<math>na < b</math>（注意<math>na</math>表示<math>n</math>个<math>a</math>相加），令<math>S=\{na|n=1,2,3,...\}</math>，則<math>b</math>爲<math>S</math>的上界（<math>S</math>上方有界，依實數完備性，必存在[[最小上界]]，令其為<math>\alpha</math>），於是<math>\forall n = 1,2,3,...</math>有

::: <math>na < \alpha \Rightarrow (n+1)a < \alpha \Rightarrow na < \alpha -a</math>

得出<math>\alpha -a</math>也是<math>S</math>的一個上界，這與<math>\alpha</math>是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。

== 參看 ==

[[Category:数论]]
[[Category:数学定理|A]]