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{{NoteTA |G1=Math}}
[[File:阿基米德中点定理.jpg|thumb|在此图中AD=DC+BC]]

'''阿基米德中點定理'''（{{lang-en|Archimedes' Midpoint Theorem}}），又稱為'''阿基米德折弦定理'''，是一個關於[[圓]]的定理。若一個圓上有兩點<math>A,B</math>，<math>M</math>為弧<math>\overset{\frown}{AB}</math>的[[中點]]，隨意選圓上的一點<math>D</math>為<math>\overline{AC}</math>上的點使得<math>\overline{MD}</math>[[垂直]]<math>\overline{AC}</math>。若<math>M</math>、<math>C</math>在弦<math>\overset{\frown}{AB}</math>异侧，则<math>\overline{AD}</math>=<math>\overline{CD}</math>-<math>\overline{BC}</math>；若<math>M</math>、<math>C</math>在弦<math>\overset{\frown}{AB}</math>同侧，则<math>\overline{AD}</math>=<math>\overline{CD}</math>+<math>\overline{BC}</math>。

== 证明 ==

若为同侧：在线段<math>\overline{AD}</math>上取点<math>X</math>，使得<math>\overline{DX}=\overline{DC}</math>，由于<math>\overline{MD}\perp \overline{AC}</math>，有

<math>\overline{MX}=\overline{MC}</math>。又因为<math>M</math>为弧<math>\overset{\frown}{AB}</math>中点，<math>\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}</math>。

:同时由[[圆周角定理]]知：

:<math>\angle MAC=\angle MBC</math>，<math>\angle ABM=\angle ACM</math>，

:所以 <math>\angle XMC = 2\angle DMC =180^\circ - 2\angle ACM = 180^\circ - 2\angle ABM = \angle AMB  </math> ，
:所以 <math>\angle AMX=\angle AMC - \angle XMC=\angle AMC - \angle AMB = \angle BMC</math>，

:所以 <math>\triangle AMX \cong \triangle BMC</math>，

:所以 <math>\overline{AX}=\overline{BC}</math>，<math>\overline{AD}=\overline{AX}+\overline{XD}=\overline{DC}+\overline{CB}</math>，命题得证。

若为异侧：在线段<math>\overline{AD}</math>延长线上取点<math>X</math>,使<math>\overline{DX}=\overline{AD}</math>.因为<math>M</math>为弧<math>\overset{\frown}{AB}</math>中点，所以<math>\angle ACM=\angle BCM</math>。又因为四边形<math>AMBC</math>为圆内接[[四邊形|四边形]]，所以，延长<math>\overline{CB}</math>至<math>P</math>，则<math>\angle MBP=\angle MAC</math>。但是<math>\overline{AD}=\overline{DX}</math>，<math>\angle ADM</math>为直角，所以<math>\triangle ADM \cong \triangle XDM </math> ； <math>\angle MAC = \angle AXM </math> ； <math> \angle MBP = \angle AXM </math> ； <math>\angle CXM = \angle CBM</math> 。

又<math>\overline{CM}=\overline{CM}</math>，所以 <math>\triangle CXM \cong \triangle CBM </math> 。

承上所述，所以<math>\overline{CX}=\overline{CB}</math>。所以<math>\overline{AD}=\overline{DC}-\overline{CX}=\overline{DC}-\overline{CB}</math>。

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20060317111134/http://www.jimloy.com/cindy/midpoint.htm Java程式 (by Jim Loy)]
{{Geometry-stub}}

[[Category:几何定理|Archimedes]]
[[Category:圆]]