查看“︁阶梯形矩阵”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}

线性代数中，一個[[矩阵]]如果符合下列條件的話，我們稱之為'''-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵'''或'''-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩阵'''（{{lang-en|Row Echelon Form}}）：
* 若某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-有个非零元素，則必在任何全零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-之上。
* 某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-最左边的（即第一個）非零元素稱為首项系数（{{lang|en|leading coefficient}}）。某列的首项系数必定比上一列的首项系数更靠右（某些版本會要求非零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的首项系数必須是1<ref>{{Citation | last1 = Leon | first1 = Steve | title = Linear Algebra with Applications|pages = 13| isbn=978-0136009290 | edition = 8th | year = 2009 | publisher = Pearson }}</ref>）。
因為首项系数要不是最靠右的，要不就是左邊都是零，所以根據上面二點，在首项系数所在的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-中，在首项系数下面的元素都會是零。

这个3×4矩阵是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：

<math>
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & b_1 \\
0 & 2 & a_3 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
</math>

有時候，[[增廣矩陣]]右邊的直線也會省略。

<math>
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & a_1 & a_2 & b_1 \\
0 & 2 & a_3 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
</math>

== 简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵 ==
'''简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵'''或'''簡約-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩陣'''（{{lang|en|reduced row echelon form}}），也称作'''-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-规范形矩阵'''（{{lang|en|row canonical form}}），如果满足额外的条件：

* 每个首项系数是1，且是其所在-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的唯一的非零元素。例如：
<math>
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & a_1 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & a_2 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
</math>

注意，这并不意味着简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：

<math>
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1/2  & 0 & b_1 \\
0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0    & 1 & b_3
\end{array} \right]
</math>

因为第3-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-并不包含任何-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-的首项系数。

== 矩阵变换到-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵 ==
通过有限步的[[初等矩阵|-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-初等变换]]，任何矩阵可以变换为-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。由于-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-初等变换保持了矩阵的[[行空間與列空間|-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间]]，因此-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间与变换前的原矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间相同。

-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵是唯一的。

== 线性方程组 ==
如果一个[[线性方程组]]的[[增广矩阵]]是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是'''-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵'''。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是'''简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵'''。

== 一些示例 ==
定义：
<math>
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]
</math>
 
例子：
<math>
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 8 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]

\left[ \begin{array}{cccc}
1 & -6 & 33 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{array} \right]
</math>

错误示例：
<math>
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 26
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -29 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
1 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
</math>

注：

* 矩阵1：第二-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的第一非零项1的下方的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

* 矩阵2：全为零的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-应该在非全为零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的下方，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

* 矩阵3：k+1-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-比k-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。

简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的例子：
<math>
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccccc|c}
1 & 9 & 0 & 5 & 0 & 17 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array} \right]
</math>

== 参见 ==
*[[高斯消元法]]
*[[高斯-若爾當消元法]]
*[[初等变换]]

== 参考来源 ==
<references/>
*[https://web.archive.org/web/20120928023406/http://www.pyrtvu.cn/jinjishuxue/lesson/ch09/0903.html 矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵与矩阵的秩]
*[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/RREF.html Interactive Row Echelon Form with rational output] {{Wayback|url=http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/RREF.html |date=20120111061057 }}
{{wikibooks
|1= Linear Algebra
|2= Row Reduction and Echelon Forms
|3= 
}}
 
[[category:线性代数]]
[[category:矩阵论]]

[[de:Lineares Gleichungssystem#Stufenform, Treppenform]]