查看“︁開爾文環流定理”︁的源代码

{{NoteTA|G1=P}}
在[[流體動力學]]上，'''開爾文環流定理'''（{{lang-en|Kelvin's circulation theorem}}，由[[第一代開爾文男爵威廉·湯姆森]]於1869年發表<ref>{{cite journal|author= Sir W. Thomson|title= On Vortex Motion|journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=25|pp=217-260|year=1869|url=https://archive.org/stream/transactionsofro25royal#page/n245/mode/2up}}</ref>，因此以他命名）描述在徹體力[[保守力|保守]]的[[正壓]][[理想流體]]中閉合曲線（包圍相同的流體元）的[[環量|環量]]在流體運動時並不會隨時間而改變<ref>Kundu, P and Cohen, I: ''Fluid Mechanics'', page 130. Academic Press 2002</ref>。其數學描述為

:<math>\frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D}t} = 0</math>

其中<math>\Gamma</math>為材料圍線<math>C(t)</math>的[[環量|環流]]。用更簡單的話來說，這條定理所指的是，若觀察閉合圍線並注意它一段時間（注意所有流體元的運動）的話，則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力（例如[[科里奥利力]]）或非正壓的壓力－密度關係的情況下並不成立。

== 數學證明 ==

{{see also|歐拉方程 (流體動力學)}}

材料圍線<math>C(t)</math>的環流 <math>\Gamma</math>的定義為：

:<math>\Gamma(t) = \oint_C \boldsymbol{u} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}</math>

其中'''''u'''''為速度向量，'''''ds'''''為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

:<math>\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D} t} = - \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p + \boldsymbol{\nabla} \Phi</math>

其中D/D''t''為實質導數，''ρ''為流體密度，''p''為密度，以及''Φ''為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即<math>\rho=\rho(p)</math>。

取環流的實質導數，得：
:<math> \frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D} t} = \oint_C \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} + \oint_C \boldsymbol{u} \cdot  \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t} </math>

把主宰方程式代入第一項並使用[[斯托克斯定理]]，得：
:<math> \oint_C \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \int_A \boldsymbol{\nabla} \times \left( -\frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p + \boldsymbol{\nabla} \Phi \right) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S =  \int_A \frac{1}{\rho^2} \left( \boldsymbol{\nabla} \rho \times \boldsymbol{\nabla} p \right) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S = 0. </math>
最後的等式是源自<math>\boldsymbol{\nabla} \rho \times \boldsymbol{\nabla} p=0</math>，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數<math>f</math>的梯度的旋度皆為零這一事實<math>\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} f=0</math>。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

:<math>\frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t} = \left( \mathrm{d}\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u}</math>

因此

:<math>\oint_C \boldsymbol{u} \cdot  \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t} = \oint_C \boldsymbol{u} \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u} = \frac{1}{2} \oint_C \boldsymbol{\nabla} \left( |\boldsymbol{u}|^2 \right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = 0</math>

使用交換律後再使用<math>\boldsymbol{u}\cdot\nabla\boldsymbol{u}=\frac{1}{2}\nabla\left(|\boldsymbol{u}|^2\right)</math>。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得
:<math>\frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D}t} = 0</math>

== 参见 ==
* [[亥姆霍兹定理 (流体力学)]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:流体力学中的方程]]
[[Category:流体动力学]]
[[Category:方程]]