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[[數學]]中，尤其是[[數理邏輯]]和[[集合論]]中，'''閉無界集'''（{{Lang-en|'''cl'''osed and '''u'''n'''b'''ounded set, '''club''' set}}）是[[极限序数]]的一類子集，其在該極限序數的[[序拓撲]]中為[[閉集|閉]]，且相對於該極限序數為無界（見[[#嚴格定義|嚴格定義]]）。

== 嚴格定義 ==
嚴格而言，若<math>\kappa</math>為極限序數，則集合<math>C\subseteq\kappa</math>為'''閉'''[[当且仅当|當且僅當]]對每個<math>\alpha<\kappa</math>，若<math>\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0</math>，則<math>\alpha\in C</math>。因此，若<math>C</math>中，某[[極限 (數列)|序列的極限]]小於<math>\kappa</math>，則該極限也在<math>C</math>中。<ref name="Jech">{{Cite book|title=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|last=Jech|first=Thomas|publisher=Springer|year=2003|isbn=3-540-44085-2|language=en|trans-title=集合論：第三千紀版，經修訂及擴展}}</ref>{{Rp|91}}

若<math>\kappa</math>為極限序數，且<math>C\subseteq\kappa</math>，則<math>C</math>稱為在<math>\kappa</math>中'''無界'''，意思是對任意<math>\alpha<\kappa</math>，皆有<math>\beta\in C</math>使<math>\alpha<\beta</math>。

若集合既閉又無界，則為'''閉無界集'''。有時也考慮閉的[[类 (数学)|真類]]（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類<math>\mathrm{On}</math>中無界）。

例如，所有[[可數集|可數]]極限序數構成的集合就是[[首個不可數序數]]的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數<math>\alpha<\kappa</math>構成的集合是<math>\kappa </math>的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是{{Le|正規函數 (集合論)|normal function|正規函數}}<ref name="Jech" />{{Rp|92}}（即遞增且連續的函數）的值域。

更一般地可以定義何種<math>C\subseteq[X]^\lambda</math>為'''閉無界集。'''若<math>X</math>非空，<math>\lambda</math>為基數，且<math>X </math>中每個大小小於<math>\lambda</math>的子集都包含於<math>C</math><math>C</math>的某個元素中，則<math>C </math>稱為'''閉無界集'''。（參見{{Le|固定集|stationary set}}）

== 閉無界濾子 ==
設<math>\kappa</math>為極限序數，且其[[共尾性]]<math>\lambda</math>不可數。對<math>\alpha < \lambda</math>，設<math>\langle C_\xi : \xi < \alpha\rangle </math>為<math>\kappa</math>的一列閉無界子集，則<math>\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi</math>也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意<math>\beta_0 < \kappa</math>，又對每個<math>n < \omega</math>，從每個<math>C_\xi </math>中，選取元素<math>\beta_{n+1}^\xi > \beta_{n}</math>（可以如此選取，因為每個<math>C_\xi </math>都無界）。由於此為少於<math>\lambda </math>個序數，且每個都小於<math>\kappa</math>，其上確界也必小於<math>\kappa</math>，稱其為<math>\beta_{n+1}</math>。如此，得到可數序列<math>\beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots </math>，其極限同樣會是序列<math>\beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots </math>的極限，而由於每個<math>C_\xi </math>皆為閉，且<math>\lambda </math>不可數，後者的極限必在<math>C_\xi</math>中，所以<math>(\beta_n)</math>的極限是上述交集的元素，且大於<math>\beta_0</math>，但<math>\beta_0</math>為任意，故交集無界，即為所求證。<ref name="Jech" />{{Rp|92}}

由此可見，若<math>\kappa </math>為{{Le|正則基數|regular cardinal}}，則閉無界集生成<math>\kappa</math>上的非主<math>\kappa</math>完備[[滤子 (数学)|濾子]]。該濾子可以符號表示成<math>\{S \subset \kappa : \exists C \subseteq \kappa, C \subseteq S, </math> 且<math>C </math>是<math>\kappa</math>中的閉無界集<math>\} </math>。

若<math>\kappa </math>為正則基數，則閉無界集關於{{Le|對角交集|Diagonal intersection|對角交運算}}亦是封閉的。<ref name="Jech" />{{Rp|92}}

反之，若<math>\kappa </math>正則，而<math>\mathcal{F} </math>為<math>\kappa</math>上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如<math>\{\xi < \kappa : \xi \geq \alpha\} </math>（其中<math>\alpha < \kappa </math>）的集合皆為<math>\mathcal F</math>的元素，則所有閉無界集均屬於<math>\mathcal{F} </math>。

== 參見 ==

* {{Le|閉無界濾子|club filter}}
* {{Le|固定集|Stationary set}}
* {{Le|梅花系原理|Clubsuit}}

== 參考資料 ==
<references />

* {{Cite book|title=Basic Set Theory|last=Lévy|first=Azriel|publisher=Springer-Verlag|year=1979|isbn=0-486-42079-5|edition=Reprinted 2002, Dover|work=Perspectives in Mathematical Logic|language=en|trans-title=基礎集合論}}

* {{PlanetMath attribution|title=club|urlname=club}}


[[Category:序数]]
[[Category:集合论]]