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<div style="float:right;width:350px;">
[[File:Prolate_spheroidal_coordinates.png|thumb|right|325px|圖 1 ）長球面坐標系的幾個[[坐標曲面]]。紅色長球面的 <math>\mu=1</math> 。藍色半個雙葉雙曲面的 <math>\nu=45^{\circ}</math> 。黃色半平面的 <math>\phi= - 60^{\circ}</math> （黃色半平面與 xz-半平面之間的[[二面角]]角度是 <math>\left|\phi\right|</math> ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），[[直角坐標]]大約為 <math>(0.831,\ - 1.439,\ 2.182)</math> 。]]
[[File:ProlateSpheroidCoord.png|thumb|right|350px|圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ <math>\mu</math>-等值線）變成上圖的紅色長球面（ <math>\mu</math> 坐標曲面），而 <math>x>0</math> 青藍色雙曲線（ <math>\nu</math>-等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ <math>\nu</math> 坐標曲面）。]]
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'''長球面坐標系'''（{{lang-en|Prolate spheroidal coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。設定二維[[橢圓坐標系]]包含於 xz-平面；兩個焦點 <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> 的[[直角坐標]]分別為 <math>(0,\ 0,\  - a)</math> 與 <math>(0,\ 0,\ a)</math> 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到[[扁球面坐標系]]。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為[[橢球坐標系]]的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

==基本定義==
在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 <math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math> 常見的定義是
:<math>x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi</math> 、
:<math>y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi</math> 、
:<math>z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu</math> ；

其中，<math>\mu\ge 0</math> 是個實數，弧度 <math>0 \le \nu \le \pi</math> ，弧度 <math> 0 \le \phi \le 2\pi</math> 。

===坐標曲面===
<math>\mu</math> [[坐標曲面]]是[[長球面]]：
:<math>\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1</math> 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 <math>a\sinh\mu</math> ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 <math>a\cosh\mu</math> 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 <math>\pm a</math> 。

<math>\nu</math> 坐標曲面是半個[[雙曲面|旋轉雙葉雙曲面]]：
:<math>\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1</math> 。

當 <math>\nu<\pi/2</math> 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 <math>\nu>\pi/2</math> 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

<math>\phi</math> 坐標曲面是個半平面 ：
:<math>x\sin\phi - y\cos\phi=0</math> 。

===標度因子===
長球面坐標 <math>\mu</math> 與 <math>\nu</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}</math> 。

方位角 <math>\phi</math> 的標度因子為
:<math>h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu</math> 。

無窮小體積元素是
:<math>dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>
\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + 
\coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + 
\cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}
\right] + 
\frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

===應用===
當邊界條件涉及[[長球面]]時，長球面坐標時常可以用來解析[[偏微分方程式]]。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的[[靜電場]]？一個關於[[氫離子]] <math>H_2^+</math> 的問題是，當移動於兩個正價的[[原子核]]中間時，一個[[電子]]的[[波函數]]是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (<math>\mu=0</math>) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (<math>\nu=0</math>) 產生的電場。

==第二種表述==
[[File:Prolate_spheroidal_coordinates.png|thumb|350px|right|圖 3 ）第二種長球面坐標系 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 的三個[[坐標曲面]]。紅色長球面的 <math>\sigma=1.54</math> 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 <math>\tau=0.71</math> 坐標曲面 。黃色半平面的 <math>\phi=-60^{\circ}</math> 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的[[二面角]]角度是 <math>\left|\phi\right|</math> ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P  （以黑色的圓球表示）。[[直角坐標]]大約為 <math>(0.831,\ - 1.439,\ 2.182)</math> 。]]

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi) </math> ：
:<math>\sigma=\cosh\mu</math> 、
:<math>\tau=\cos \nu</math> 、
:<math>\phi=\phi</math> 。

其中，<math>\sigma\ge 1</math> 是個實數，<math>1\ge \tau\ge - 1</math> 是個實數，弧度 <math> 0 \le \phi \le 2\pi</math> 。

與[[扁球面坐標系]]不同，長球面坐標系並沒有[[簡併]]。在三維空間裏，長球面坐標系與[[直角坐標]]有[[一一對應]]關係:
:<math>x  = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi</math> 、
:<math>y  = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi</math> 、
:<math>z = a\ \sigma\ \tau</math> 。

===坐標曲面===
<math>\sigma</math> [[坐標曲面]]是[[長球面]]：
:<math>\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1</math> 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 <math>a \sqrt{\sigma^2 - 1}</math> ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 <math>a\sigma</math> 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 <math>\pm a</math> 。

<math>\tau</math> 坐標曲面是半個[[雙曲面|旋轉雙曲面]]：
:<math>\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1</math> 。

當 <math>\tau>0</math> 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 <math>\tau<0</math> 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

<math>\phi</math> 坐標曲面是個半平面 ：
:<math>x\sin\phi - y\cos\phi=0</math> 。

任何一點 P 與焦點 <math>F_{1}</math> ，<math>F_{2}</math> 的距離 <math>d_1</math> ，<math>d_2</math> ，可以一個很簡單的公式表示：
:<math>d_{1}+d_{2} = 2a\sigma</math> 、
:<math>d_{1} - d_{2}= 2a\tau</math> 。

所以，點 P 與焦點 <math>F_{1}</math> 的距離 <math>d_1</math> 是 <math>a(\sigma+\tau)</math> ，點 P 與焦點 <math>F_{2}</math> 的距離 <math>d_2</math> 是 <math>a(\sigma - \tau)</math> 。（回想 <math>F_{1}</math> ，<math>F_{2}</math> 都是在 z-軸，分別位於 <math>z= - a</math> ，<math>z=+a</math> 。）

===標度因子===
第二種長球面坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 的標度因子分別為:
:<math>h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}</math> 、
:<math>h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}</math> 、
:<math>h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}</math> 。

無窮小體積元素是
:<math>dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>
\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

===應用===
如同[[球坐標]]解答的形式為[[球諧函數]]，[[拉普拉斯方程]]可以用[[分離變數法]]來求解，得到形式為'''長扁球諧函數'''的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

==參閱==
{{正交坐標系}}

==參考目錄==
===不按照命名常規===
* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 661}}  採用 <math>\xi_1=a\cosh\mu</math> 、<math>\xi_2=\sin\nu</math> 、<math>\xi_3=\cos\phi</math> 。

* {{cite book | author = Zwillinger D | date = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | pages = p. 114}}  如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 <math>u_k</math> 來替代 <math>\xi_k</math> 。

* {{cite book | last = Smythe | first = WR| title = Static and Dynamic Electricity |edition = 3rd ed. | publisher = McGraw-Hill | location = New York | year = 1968}}

* {{cite book | author = Sauer R, Szabó I | date = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York |  pages = p. 97}}  採用混合坐標 <math>\xi=\cosh\mu</math> 、<math>\eta=\sin\nu</math> 、<math>\phi=\phi</math> 。

===按照命名常規===
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 177}} 採用第一種表述 <math>(\mu,\ \nu,\ \phi)</math> ，又加介紹了簡併的第三種表述 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi) </math> 。 

* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = p. 180–182 }}  如同 Korn and Korn (1961) ，但採用'''餘緯度''' <math>\theta=90^{\circ} - \nu</math> 來替代[[緯度]] <math>\nu</math> 。

* {{cite book | author = Moon PH, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 0-387-02732-7 | pages = pp. 28–30 (Table 1.06)}}  Moon and Spencer 採用餘緯度常規 <math>\theta=90^{\circ} - \nu</math> ，又改名 <math>\phi</math> 為 <math>\psi</math> 。

===特異命名常規===
* {{cite book | author = Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP | date = 1984 | title = Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) | edition = 2nd edition | publisher = Pergamon Press | location = New York | isbn = 978-0750626347 | pages = pp. 19–29 }} 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。

[[Category:坐標系|C]]