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'''鑒相器特性函數'''（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述[[鉴相器]]的輸出。

在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性<ref>A. J. Viterbi,
Principles of Coherent Communication, McGraw-Hill, New York,
1966</ref>。
若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。
鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。

鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真<ref name=2012-IEEETCASII-PLL>{{cite journal | 
author1 = Leonov G.A. | 
author2 = Kuznetsov N.V. | 
author3 = Yuldashev M.V. | 
author4 = Yuldashev R.V. | 
year = 2012 | 
title = Analytical method for computation of phase-detector characteristic | 
journal = IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II | 
volume = 59 | 
issue = 10 | 
pages = 633&ndash;637 | 
url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2012-IEEE-TCAS-Phase-detector-characteristic-computation-PLL.pdf | 
doi = 10.1109/TCSII.2012.2213362 | 
access-date = 2021-05-21 | 
archive-date = 2021-01-20 | 
archive-url = https://web.archive.org/web/20210120200957/https://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2012-IEEE-TCAS-Phase-detector-characteristic-computation-PLL.pdf }}</ref>。
== 類比乘法器的鑒相器特性 ==
考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。

<!--[[File:Multuplier phase detector in time domain.svg|500px|thumb|時域中的乘法器鑒相器]]-->
[[File:Pd mult.svg|500px|thumb|相域—頻域下的鑒相器]]

此處<math>f^1(\theta^1(t))</math> and <math>f^2(\theta^2(t))</math>是高頻信號，[[分段]]可微函數<math>f^1(\theta)</math>, <math>f^2(\theta)</math>是輸入信號的[[波形]]，<math>\theta^{1,2}(t)</math>是相位，而<math>g(t)</math>是濾波器的輸出。

若<math>f^{1,2}(\theta)</math>和<math>\theta^{1,2}(t)</math>滿足高頻條件（高頻條件在<ref>{{cite journal|author1 = G. A. Leonov|author2 = N. V. Kuznetsov|author3 = M. V. Yuldashev|author4 = R. V. Yuldashev|year = 2011|title = Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems|journal = Doklady Mathematics|volume = 84|issue = 1|pages = 586–590|doi = 10.1134/S1064562411040223|url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-DAN-Phase-detector-characteristic-Nonlinear-analysis-PLL.pdf|access-date = 2021-05-21|archive-date = 2021-01-20|archive-url = https://web.archive.org/web/20210120204112/https://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-DAN-Phase-detector-characteristic-Nonlinear-analysis-PLL.pdf}}</ref><ref>{{cite journal|author1=N.V. Kuznetsov |author2=G.A. Leonov |author3=M.V. Yuldashev |author4=R.V. Yuldashev |year = 2011|title = Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design|journal = ISSCS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings|pages = 7–10|doi = 10.1109/ISSCS.2011.5978639}}</ref>），則 鑒相器特性函數<math>\phi(\theta)</math>會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出
:<math>
g(t) = \int\limits_0^t f^1(\theta^1(t))f^2(\theta^2(t))dt
</math>
和相域—頻域模型的濾波輸出 
:<math>
G(t) = \int\limits_0^t \varphi(\theta^1(t) - \theta^2(t))dt
</math>
幾乎相等
:<math>g(t) - G(t) \approx 0</math>
<!--:[[File:Pd mult.svg|500px|thumb|相域—頻域下的鑒相器]]-->
=== 弦波輸入 ===
考慮簡單的弦波輸入<math>f^1(\theta)=\sin(\theta),</math> <math>f^2(\theta)=\cos(\theta)</math>以及積分器濾波器。
:<math>\sin(\theta^1(t))\cos(\theta^2(t)) = \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t)) + \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))</math>
標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號<math>\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t))</math>，不改變其低頻訊號<math>\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))</math>。

因此，其弦波訊號的鑒相器特性為
:<math>
\varphi(\theta) = \frac{1}{2}\sin(\theta).
</math>

=== 方波輸入 ===
考慮高頻方波信號<math>f^1(t) = \sgn(\sin(\theta^1(t)))</math> and <math>f^2(t) = \sgn(\cos(\theta^2(t)))</math>。
針對此訊號，已有論文研究出類似的結果<ref>{{cite journal|author = G. A. Leonov|year = 2008|title = Computation of phase detector characteristics in phase locked loops for clock synchronization|journal = Doklady Mathematics|volume = 78|issue = 1|pages = 643–645|doi = 10.1134/S1064562408040443}}</ref> 。
方波訊號的鑒相器特性為
:<math>
        \varphi(\theta) = \begin{cases}
1+\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [-\pi,0],\\
1-\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [0,\pi].\\
\end{cases}
</math>

=== 一般輸入訊號 ===
考慮一般情形的片段連續輸入信號<math>f^{1}(\theta)</math>, <math>f^2(\theta)</math>。

輸入信號可以展開為傅立葉級數，<math>f^1(\theta)</math>和<math>f^2(\theta)</math>傅立葉級數的係數如下：
:<math>
a^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\sin(ix)dx,
</math><math>b^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\cos(ix)dx,
</math><math>c^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)dx, p = 1,2
</math>

鑒相器特性為
<ref name=2012-IEEETCASII-PLL />

:<math>
\varphi(\theta) = c^1c^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{\infty}\bigg((a^1_la^2_l + b^1_lb^2_l)\cos(l\theta) + (a^1_lb^2_l - b^1_la^2_l)\sin(l\theta)\bigg).
</math>

顯然，鑒相器特性<math>\varphi(\theta)</math>是在<math>\mathbb{R}</math>內的週期性、連續有界函數。

有些專利是有關此分析方式的結果<ref>Patent RU 2011113212/08(019571)</ref>。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:探测器]]
[[Category:电路]]