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在[[量子力学]]中，'''量子马尔可夫半群'''刻画了具备[[马尔可夫性质]]的{{le|开放量子系统|Open quantum system}}的动力学演化。量子马尔可夫半群原型的公理定义最早由 {{Le|Andrzej Kossakowski}} 于1972年提出，随后由V. Gorini、 Andrzej Kossakowski 、{{Le|E. C. George Sudarshan}} 和 {{Le|Göran Lindblad (physicist)|3=Göran Lindblad}} 于1976年进一步发展。

== 动机 ==
理想的[[量子力学|量子系统]]是完全孤立的，因而并不现实。在实践中，系统会受到与环境耦合的影响，而环境通常具有大量的自由度（例如[[原子]]与周围辐射场相互作用）。对环境自由度的完整微观描述通常过于复杂。因此，人们寻求对开放系统的演化的更简单描述。原则上，人们应该研究整个系统（即系统和环境）的[[幺正算符|幺正]]演化，通过对环境自由度上的适当[[可觀察量]]取平均来获得感兴趣的[[约化密度矩阵|约化系统]]的信息。为了模拟与环境相互作用而产生的耗散效应，[[薛定谔方程]]被一个合适的[[主方程]]所取代，例如[[林德布拉德方程]]或随机薛定谔方程，其中环境的无限自由度被“合成”为一些[[量子噪声]]。从数学上讲，马尔可夫开放量子系统的时间演化不再由幺正映射的[[单参数群]]来描述，而是需要引入'''量子马尔可夫半群'''。

== 定义 ==

=== 量子动力学半群 ===
一般而言，量子动力学半群可以定义在[[冯诺依曼代数]]上，这使得所考察的系统的[[维数]]可以是无限的。设 <math> \mathcal{A} </math> 是一个作用于[[希尔伯特空间]] <math> \mathcal{H} </math> 上的冯诺依曼代数 ， <math> \mathcal{A} </math> 上的量子动力学半群是 <math> \mathcal{A} </math> 上[[有界算子]]的这样一种集合 <math> \mathcal{T} </math> ，其可用一非负实数 <math> t\geq0 </math> 参数化从而其成员记作 <math> \mathcal{T}_t </math> ，且具有以下性质：<ref name="QMS-FF">{{Cite journal |last=Fagnola |first=Franco |date=1999 |title=Quantum Markov semigroups and quantum flows |url=https://www.researchgate.net/publication/247317142 |journal=Proyecciones |volume=18 |issue=3 |page=1–144 |doi=10.22199/S07160917.1999.0003.00002 |doi-access=free}}</ref>

# <math> \forall a \in \mathcal{A} </math>, <math> \mathcal{T}_0 \left( a \right) = a </math>
# <math> \forall s, t \ge 0 </math>,  <math> \forall a \in \mathcal{A} </math> , <math> \mathcal{T}_{t + s} \left( a \right) = \mathcal{T}_t \left( \mathcal{T}_s \left( a \right) \right) </math>
# <math> \forall t \ge 0 </math> ， <math> \mathcal{T}_t </math> 都是一个{{Le|完全正映射|Complete positive map}}
# <math> \forall t \ge 0 </math> ，<math> \mathcal{T}_t </math> 都是 <math> \mathcal{A} </math> 上的{{Le|超弱拓扑|Ultraweak topology}}意义上的连续算子
# <math> \forall a \in \mathcal{A} </math> ，映射 <math> t \mapsto \mathcal{T}_t \left( a \right) </math> 在 <math> \mathcal{A} </math> 的{{Le|超弱拓扑|Ultraweak topology}}意义上连续。

值得一提的是，在完全正性质的条件下，算子 <math> \mathcal{T}_t </math> 的超弱连续性等价于其正规性（normal）。<ref name="QMS-FF"></ref>注意这里所说的正规性不同于[[正规算子]]，而是定义如下：设 <math> \mathcal{A}_+ </math> 表示 <math> \mathcal{A} </math> 中正元素所构成的[[凸锥]]， <math> T : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A} </math> 是一个正算子，若对于每个 <math> \mathcal{A}_+ </math> 中递增且有[[最小上界]] <math> x </math> 的[[網 (數學)|网]] <math> \left( x_\alpha \right)_\alpha </math> ，性质

: <math> \lim_{\alpha} \langle u, (T x_\alpha) u \rangle = \sup_{\alpha} \langle u, (T x_\alpha) u \rangle = \langle u, (T x) u \rangle </math>

对 <math> \mathcal{H} </math> 的一个[[稠密集|范数稠密]]的[[线性子流形]]中的任意 <math> u </math> 都成立，则称算子 <math> T </math> 是正规的。

=== 量子马尔可夫半群 ===
若量子动力学半群 <math> \mathcal{T} </math> 保单位元（或称是守恒的、马尔可夫的），也就是说对于单位元 <math> \boldsymbol{1} \in \mathcal{A} </math> 有{{NumBlk|:|<math> \mathcal{T}_t \left( \boldsymbol{1} \right) = \boldsymbol{1}, \quad \forall t \ge 0, </math>|{{EquationRef|1}}}}则称 <math> \mathcal{T} </math> 是一个量子马尔可夫半群。注意 <math> \mathcal{T}_t </math> 的保单位元性和{{Le|正映射|Positive map|正性}}蕴含了 <math> \forall t \ge 0,\left\| \mathcal{T}_t \right\| = 1 </math>  ，从而 <math> \mathcal{T} </math> 是一个[[收缩半群]]。<ref name="Operator-alg-Bratteli">{{Cite book|last=Bratteli|first=Ola|last2=Robinson|first2=Derek William|title=Operator algebras and quantum statistical mechanics|date=1987|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=3-540-17093-6|edition=2nd}}</ref>

条件 (1) 不仅在证明Hudson – Parthasarathy[[量子随机微分方程]]解的唯一性和幺正性方面起着重要作用，而且在从[[算子理论]]的角度推导经典马尔可夫过程路径的正则性条件方面也起着重要作用<ref name="MinimalQDS-AC-FF">{{Cite journal |last=Chebotarev |first=A.M |last2=Fagnola |first2=F |date=March 1998 |title=Sufficient Conditions for Conservativity of Minimal Quantum Dynamical Semigroups |journal=Journal of Functional Analysis |volume=153 |issue=2 |page=382–404 |arxiv=funct-an/9711006 |doi=10.1006/jfan.1997.3189 |s2cid=18823390}}</ref> 。

=== 量子动力学半群的无穷小生成元 ===
量子动力学半群 <math> \mathcal{T} </math> 的无穷小生成元  是这样一个算子 <math> \mathcal{L} </math> ，其定义在 <math> \mathcal{A} </math> 的使下列极限收敛的子集上，满足：

: <math> \mathcal{L}(a)  = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{T}_t(a) - a}{t}, </math>

上式的极限在超弱拓扑意义上理解。

== 一致连续量子马尔可夫半群的生成元的典范形式 ==
若量子马尔可夫半群 <math> \mathcal{T} </math> 还具有[[一致连续]]性质（使得 <math> \lim_{t \rightarrow 0^+} \left\| \mathcal{T}_t - \mathcal{T}_0 \right\| = 0 </math> ）， 于是有

* 无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math> 将是冯诺依曼代数 <math> \mathcal{A} </math> 上的一个[[有界算子]]，且其定义域为整个 <math> \mathcal{A} </math> <ref name="FA-Rudin">{{Cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Functional analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|date=1991|publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|location=New York|isbn=978-0070542365|edition=Second}}</ref>
* 对于任意 <math> a \in \mathcal{A} </math> ，映射 <math> t \mapsto \mathcal{T}_t a </math> 将自动成为连续的 <ref name="FA-Rudin" />
* 无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math> 也将是超弱连续的。 <ref name="Diximier-sigma-weak-continuity">{{Cite journal |last=Dixmier |first=Jacques |date=1957 |title=Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien |journal=Mathematical Reviews (MathSciNet)}}</ref>

在这样的假设下，无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math> 具有下列典范形式<ref name="Lindbladian">{{Cite journal |last=Lindblad |first=Goran |date=1976 |title=On the generators of quantum dynamical semigroups |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899849 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=48 |issue=2 |page=119–130 |doi=10.1007/BF01608499 |s2cid=55220796 |access-date=2024-04-06 |archive-date=2020-08-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200820095903/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899849 |dead-url=no }}</ref>

: <math> \mathcal{L} \left( a \right) = i \left[ H, a \right] + \sum_{j} \left( V_j^\dagger a V_j - \frac{1}{2} \left\{ V_j^\dagger V_j, a \right\} \right), </math>

其中： <math> a \in \mathcal{A} </math>, <math> V_j \in \mathcal{B} (\mathcal{H}) </math>, <math> \sum_{j} V_j^\dagger V_j \in \mathcal{B} (\mathcal{H}) </math> ； <math> H \in \mathcal{B} (\mathcal{H}) </math> 是[[自伴算子|自伴]]的； <math> \left[ \cdot, \cdot \right] </math> 表示[[交換子|对易子]]，而 <math> \left\{ \cdot, \cdot \right\} </math> 是[[交換子|反对易子]]。

== 近期发布作品精选 ==

* {{Cite journal |last=Chebotarev |first=A.M |last2=Fagnola |first2=F |date=March 1998 |title=Sufficient Conditions for Conservativity of Minimal Quantum Dynamical Semigroups |journal=Journal of Functional Analysis |volume=153 |issue=2 |page=382–404 |arxiv=funct-an/9711006 |doi=10.1006/jfan.1997.3189 |s2cid=18823390}}
* {{Cite journal |last=Fagnola |first=Franco |last2=Rebolledo |first2=Rolando |date=2003-06-01 |title=Transience and recurrence of quantum Markov semigroups |journal=Probability Theory and Related Fields |volume=126 |issue=2 |page=289–306 |doi=10.1007/s00440-003-0268-0 |s2cid=123052568 |doi-access=free}}
* {{Cite journal |last=Rebolledo |first=R |date=May 2005 |title=Decoherence of quantum Markov semigroups |url=http://www.numdam.org/item/AIHPB_2005__41_3_349_0/ |journal=Annales de l'Institut Henri Poincaré B |volume=41 |issue=3 |page=349–373 |doi=10.1016/j.anihpb.2004.12.003 |access-date=2024-04-06 |archive-date=2024-04-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240406140818/http://www.numdam.org/item/AIHPB_2005__41_3_349_0/ |dead-url=no }}
* {{Cite journal |last=Umanità |first=Veronica |date=April 2006 |title=Classification and decomposition of Quantum Markov Semigroups |journal=Probability Theory and Related Fields |volume=134 |issue=4 |page=603–623 |doi=10.1007/s00440-005-0450-7 |s2cid=119409078 |doi-access=free}}
* {{Cite journal |last=Fagnola |first=Franco |last2=Umanità |first2=Veronica |date=2007-09-01 |title=Generators of detailed balance quantum markov semigroups |journal=Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics |volume=10 |issue=3 |page=335–363 |arxiv=0707.2147 |doi=10.1142/S0219025707002762 |s2cid=16690012}}
* {{Cite journal |last=Carlen |first=Eric A. |last2=Maas |first2=Jan |date=September 2017 |title=Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance |journal=Journal of Functional Analysis |volume=273 |issue=5 |page=1810–1869 |arxiv=1609.01254 |doi=10.1016/j.jfa.2017.05.003 |s2cid=119734534}}

== 参见 ==

* {{Annotated link|算子拓扑}}
* {{Annotated link|冯诺依曼代数}}
* {{Annotated link|:en:C0 semigroup|C<sub>0</sub>半群}}
* {{Annotated link|:en:Contraction semigroup|收缩半群}}
* {{Annotated link|林德布拉德方程}}
* {{Annotated link|马尔可夫链}}
* {{Annotated link|量子力学}}
* {{Annotated link|:en:Open quantum system|开放量子系统}}

== 参考资料 ==
{{Reflist}}
<references responsive="1"></references>
[[Category:半群论]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:泛函分析]]