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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{量子力学}}
在[[量子力學]]裏，'''量子諧振子'''（{{lang-en|'''quantum harmonic oscillator'''}}）是[[諧振子|古典諧振子]]的延伸。其為量子力學中數個重要的[[模型]]系統中的一者，因為一任意[[勢能|勢]]在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單[[解析解]]的量子系統。量子諧振子可用來近似描述[[分子振動]]。

== 一維諧振子 ==

=== 哈密頓算符與能量[[本徵態]] ===
[[File:HarmOsziFunktionen.png|thumb|250px|能量最低的八個束縛本徵態的波函數表徵（''n'' = 0到7）。橫軸表示位置''x''。此圖未經[[歸一化]]。]]

在一維諧振子問題中，一個質量為''m''的粒子，受到一位勢<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2</math>。此粒子的[[哈密頓算符]]為
:<math>H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2</math>

其中''x''為[[空間|位置]]算符，而''p''為[[動量]]算符<math>\left(p = -i \hbar {d \over dx} \right)</math>。第一項代表粒子[[動能]]，而第二項代表粒子處在其中的[[位能]]。為了要找到[[能階]]以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态[[薛丁格方程式]]」：
:<math> H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle </math>.

在座標基底下可以解這個微分方程式，用到[[冪級數]]方法。可以見到有一族的解：
:<math> \left\langle x | \psi_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) </math>
:<math> n = 0, 1, 2, \ldots</math>

前8个解（''n'' = 0到7）如右圖。函數<math>H_n</math>為[[埃爾米特多項式]]：
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作''H''。相應的能階為
:<math> E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)</math>。

[[File:QHarmonicOscillator.png|thumb|200px|束縛本徵態之機率密度''<nowiki>|</nowiki>ψ<sub>n</sub>(x)<nowiki>|</nowiki>²''，從最底部的基態（''n'' = 0）開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置''x''，而較亮的色彩代表較高的機率密度。]]

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即<math>\hbar\omega</math>乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當''n'' = 0）不為零，而是<math>\hbar\omega/2</math>，被稱為「基態能量」或[[零點能量]]。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「[[零振動]]」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在[[量子重力]]。最後一個理由為能階值是等距的，不像[[波耳模型]]或[[盒中粒子]]問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足[[對應原理]]。

=== 階梯算符方法 ===
前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。[[階梯算符]]方法起自[[保羅·狄拉克]]，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在[[量子場論]]中。跟從此方法，定義算符''a''與其[[伴隨算符]]（adjoint）''a''<sup>†</sup>：

:<math>\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}</math>

算符''a''並非[[厄米算符]]（Hermitian），因其與伴隨算符''a''<sup>†</sup>並不相同。

算符''a''與''a''<sup>†</sup>有如下性質：
:<math>\begin{matrix}
a \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n}  \left| \phi _{n-1} \right\rangle \\
a^{\dagger} \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n+1}  \left| \phi _{n+1} \right\rangle
\end{matrix}</math>

在推導''a''<sup>†</sup>形式的過程中，已用到算符''x''與''p''（代表[[可觀測量]]）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：
:<math>\begin{matrix}
x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\
p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right)
\end{matrix}</math>

''x''與''p''算符遵守下面的等式，稱之為[[正則對易關係]]：
:<math> \left[x , p \right] = i\hbar </math>.

方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為[[交換子]]、'''交換算符'''或'''對易算符'''，其定義為
:<math>\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   AB - BA</math>.

利用上面關係，可以證明如下等式：
:<math> H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right) </math>
:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>.

現在，讓<math>\left|\psi_E\right\rangle</math>代表帶有能量''E''的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此
:<math>\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0</math>。

將''a''<sup>†</sup>''a''以哈密頓算符表示：
:<math>\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle =  \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0</math>，

因此<math>E \ge \hbar \omega / 2</math>。注意到當（<math>a \left| \psi_E \right \rangle</math>）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而<math>E = \hbar \omega / 2</math>。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（''n'' = 0）。

利用上面等式，可以指出''a''及''a''<sup>†</sup>與''H''的對易關係：
:<math>\begin{matrix}
\left[H , a \right]         &=& - \hbar \omega a \\
\left[H , a ^\dagger\right] &=&   \hbar \omega a^\dagger
\end{matrix}</math>.

因此要是（<math>a \left| \psi_E \right \rangle</math>）並非零右括向量，
:<math>\begin{matrix}
H(a \left| \psi_E \right\rangle)
 &=&(\left[H,a\right] + a H)\left|\psi_E\right\rangle \\
 &=&(- \hbar\omega a + a E)\left|\psi_E\right\rangle \\
 &=&(E - \hbar\omega)(a\left|\psi_E\right\rangle)
\end{matrix}</math>.

類似地，也可以指出
:<math>H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle)</math>.

換句話說，''a''作用在能量為''E''的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 
<math>E - \hbar \omega</math>的本徵態，而''a''<sup>†</sup>作用在能量為''E''的本徵態，產生出另一個能量為<math>E + \hbar \omega</math>的本徵態。因為這樣，''a''稱作[[降算符]]而''a''<sup>†</sup>稱作[[升算符]]。兩者合稱[[階梯算符]]。在[[量子場論]]中，''a''與''a''<sup>†</sup>也分別稱作[[消滅算符]]與[[創生算符]]，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符''a''作用在其上，產生了另一個能量少了<math>\hbar \omega</math>的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到''E'' = −∞。不過這樣就就與早先的要求<math>E \ge \hbar \omega / 2</math>相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作<math>\left| 0 \right \rangle</math>（勿與零右括向量混淆），使得
:<math>a \left| 0 \right\rangle = 0</math>（即''a''對<math>\left| 0 \right\rangle</math>作用後產生零右括向量（zero ket））。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了
:<math>H \left|0\right\rangle =(\hbar\omega/2)\left|0\right\rangle</math>。

最後，透過將升算符作用在<math>\left| 0 \right \rangle</math>上，並且乘上適當的[[歸一化]]因子，可以產生出一個能量本徵態的無限[[集合 (数学)|集合]]<math>\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}</math>使得
:<math> H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle </math>，這與前段所給的[[能量|能]]譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，<math>a \left| 0 \right\rangle = 0 </math>變為
:<math> x\psi_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi_0 (x)}{dx} = 0 </math>。

所以，
:<math> \frac{d\ln \psi_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant} </math>。

這個方程式的解為，經過歸一化，
:<math>\psi_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar}</math>。

=== 自然長度與能量尺度 ===
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過[[無因次化#量子諧振子|無因次化]]來得到。結果是如果以<math>\hbar \omega</math>為單位來測量[[能量]]，以及<math>\left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2}</math>為單位來測量[[距離]]，則[[薛丁格方程式]]變成：
:<math> H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2</math>，

且能量本徵態與本徵值變成
:<math>\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)</math>

:<math>E_n = n + {1\over 2}</math>.

為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

=== 案例：雙原子分子 ===
{{main|雙原子分子}}

在雙原子分子中，自然頻率可以發現為[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html |date=20210416152125 }}：
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}} </math>
其中
:<math>\omega = 2 \pi f </math>為角頻率，
:''k''是'''共價鍵[[勁度係數]]'''
:<math>m_r</math>是[[約化質量]]。

==N維諧振子 ==
一維諧振子很容易地推廣到<math>N</math>維。在一維中，粒子的位置是由單一[[座標]]''x''來指定的。在<math>N</math>維中，這由<math>N</math>個位置座標所取代，以<math>x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N</math>標示。對應每個位置座標有個[[動量]]，標示為''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''N''</sub>。這些算符之間的[[正則對易關係]]為
:<math>\begin{matrix}
\left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\
\left[x_i , x_j \right] &=& 0                  \\
\left[p_i , p_j \right] &=& 0
\end{matrix}</math>.

系統的[[哈密頓算符]]為
:<math> H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)</math>。

從這個哈密頓量的形式，可以發覺，<math>N</math>維諧振子明確地可比擬為<math>N</math>個質量相同，[[彈簧|彈性常數]]相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數<math>x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N</math>是<math>N</math>個粒子的位置坐標。這是[[反平方定律|反平方]][[連心力|連心位勢]]的一個優良的特性，允許位勢被分離為<math>N</math>個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數<math>\{n\}</math>，一個<math>N</math>維諧振子的能量[[本徵函數]]<math>\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle</math>等於<math>N</math>個一維本徵函數<math>\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle</math>的乘積：
:<math>\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle=\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle</math>。

採用階梯算符方法，定義<math>N</math>組[[階梯算符]]，
:<math>a_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right) </math>，
:<math>a^{\dagger}_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right)</math>。

類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個<math>a_i</math>與<math>a^{\dagger}_i</math>算符將能量分別降低或升高<math>\hbar\omega</math>。哈密頓量是
:<math>H =  \hbar \omega \, \sum_{i=1}^N \left(a_i^\dagger \,a_i + \frac{1}{2}\right)</math>。

這量子系統的能階<math>E</math>是
:<math> E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]</math>；

其中，正整數<math>n_i</math>是<math>|\psi_{n_i} \rangle</math>的量子數。

如同一維案例，能量是量子化的。<math>N</math>維[[基態]][[能階]]是一維基態能階的<math>N</math>倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在<math>N</math>維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是[[簡併]]的，都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定<math>n=n_1+n_2+n_3</math>。每一個<math>n</math>相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予<math>n</math>，首先選擇一個<math>n_1</math>。那麼，<math>n_2+n_3=n - n_1</math>，有<math>n - n_1+1</math>個值，從<math>0</math>到<math>n - n_1</math>，可以選擇為<math>n_2</math>的值。<math>n_3</math>的值自動的設定為<math>n - n_1 - n_2</math>。因此，簡併度是
:<math>d_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>。

對於<math>N</math>維案例，
:<math>d_n = \binom{N+n-1}{n}</math>。

=== 案例：三維均向諧振子 ===
:參閱[[球對稱位勢#三維均向諧振子|三維均向諧振子]]

球對稱的三維均向諧振子可以用[[分離變數法]]來求解。這方法類似於[[氫原子]]問題裏的方法，只有[[球對稱位勢]]不一樣：
:<math>V(r) = {1\over 2} \mu \omega^2 r^2</math>；

其中，<math>\mu</math>是這問題的質量。由於<math>m</math>會被用來標記[[磁量子數]]，所以，用<math>\mu</math>來標記質量。

這問題的[[薛丁格方程式]]為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + {1\over 2} \mu \omega^2 r^2\psi=E\psi</math>。

薛丁格方程式的全部解答寫為
:<math>\psi_{klm}(r,\theta,\phi) = N_{kl} r^{l}e^{-\nu r^2}{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2) Y_{lm}(\theta,\phi)</math>；
其中，
:<math>N_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2\nu ^{3}}{\pi }}\frac{2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{
(2k+2l+1)!!}}</math>是歸一常數，
:<math>\nu \equiv {\mu \omega \over 2 \hbar}</math>
:<math>{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2)</math>是<math>k</math>階[[拉盖尔多项式#广义拉盖尔多项式|广义拉盖尔多项式]] ({{lang|en|generalized Laguerre polynomials}})，<math>k</math>是個正整數，
:<math>Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math>是[[球諧函數]]，
:<math>\hbar</math>是[[約化普朗克常數]]。

能量本徵值是
:<math>E=\hbar \omega (2k+l+{3\over 2})</math>。

能量通常可以用一個量子數<math>n</math>來描述：
:<math>n\equiv 2k+l</math>。

由於<math>k</math>是個正整數，假若<math>n</math>是偶數，那麼，角量子數也是偶數：
:<math>l=0,\,2,\,\dots,\,n - 2,\,n</math>；

假若<math>n</math>是奇數，那麼，角量子數也是奇數：
:<math>l=1,\,3,\,\dots,\,n - 2,\,n</math>。

磁量子數<math>m</math>滿足不等式
:<math>-l \le m \le l</math>。

對於每一個<math>n</math>與<math>l</math>，存在<math>2l+1</math>個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數<math>m</math>。因此，<math>n</math>的兼併度是
:<math>\sum_{l=i,\,i+2,\,\ldots,\,n - 2,\,n}(2l+1) = {(n+1)(n+2)\over 2}</math>；

其中，總和的指數<math>l</math>的初始值是<math>i=n\ mod\ 2</math>。

這結果與先前的方程式相同。

== 耦合諧振子 ==
[[File:Coupled_Harmonic_Oscillator.svg|thumb|200px|兩個質點的耦合諧振子]]
設想<math>N</math>個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為<math>x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N</math>（也就是說，假若一個質點<math>k</math>位於其平衡點，則<math>x_k=0</math>）。整個系統的哈密頓量是
:<math> H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2\sum_{1\le i\le N} (x_i - x_{i-1})^2</math>；

其中，<math>x_0=0</math>。

這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的[[晶格]]集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為[[聲子]]。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在[[固態物理學]]裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

== 參閱 ==
* [[自由粒子]]
* [[無限深方形阱]]
* [[有限深方形阱]]
* [[有限位勢壘]]
* [[球對稱位勢]]
* [[Delta位勢壘]]
* [[真空災變]]
* [[盎魯效應]]

== 參考文獻 ==
* {{cite book | author=Griffiths, David J. |title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}
* {{cite book | author=Liboff, Richard L. | title=Introductory Quantum Mechanics | publisher=Addison-Wesley | year=2002 | id=ISBN 978-0-8053-8714-8}}

== 外部連結 ==
* [[國立交通大學]]物理系視聽教學：[http://140.113.8.88/pub/pubdrm/qm961/320k/961121.wmv 量子諧振子]{{dead link|date=2018年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [[喬治亞州州立大學]]（{{lang|en|Georgia State University}}）線上物理網頁：[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html 量子諧振子] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html |date=20210416152125 }}

[[Category:量子力学|L]]
[[Category:量子力学模型|L]]