查看“︁量值條件”︁的源代码

{{Unreferenced|date=2017年9月}}
[[File:Rlocus3.png|thumbnail|根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成[[向量]]的量值會滿足量值條件]]
 
'''量值條件'''（magnitude condition）是[[自動控制]]的[[根軌跡圖]]中，有關量值的限制條件，根軌跡圖中的點和[[閉迴路極點]]、零點組成[[向量]]的量值會滿足量值條件。量值條件和[[角度條件]]可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為<math>1+\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=0</math>，而<math>\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}</math>，可改寫為以下各因式相乘的形式

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},</math>，

則量值條件是指找到K值使下式成立：

:<math>|G(s)H(s)| = 1</math>

也就是說 

:<math> K\frac{ |s - a_1| |s - a_2| \cdots |s - a_m|}{|s - b_1| |s - b_2| \cdots |s - b_n| } = 1</math>.

==推導==

令<math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}</math>。

將<math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)</math>改寫為各因式相乘的形式

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2)\cdots(s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},</math>

量值條件即是

:<math>\frac{|\textbf{P}(s)|}{|\textbf{Q}(s)|}=1</math>

也就是

: <math>K\frac{|s-a_1||s-a_2|\cdots|s-a_n|}{|s-b_1||s-b_2|\cdots|s-b_m|}=1,</math>


若將控制方程改為[[極坐標]]表示：

: <math>e^{j2\pi}+\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=0 </math>

<math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=-1=e^{j(\pi+2k\pi)}</math>其中
<math>(k=0,1,2,...)</math>，這些是方程式所有的解。

將每一個因子<math>(s-a_p)</math>及<math>(s-b_q)</math>都用等效的[[向量]]<math>A_pe^{j\theta_p}</math>及<math>B_qe^{j\phi_q}</math>來表示，因此 <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)</math>可以再作整理。

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)}}</math>

簡化特徵方程式。

: <math>
\begin{align}
e^{j(\pi+2k\pi)} & =K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)}} \\
& =K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}e^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m))},
\end{align}
</math>

因此可以推導出另一個形式的量值條件：

: <math>1=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}. </math>

也可以用類似的方式推導[[角度條件]]。
{{DEFAULTSORT:Magnitude Condition}}
[[Category:控制理论]]