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在[[数学]]中，'''重言 1-形式'''（{{lang|en|Tautological one-form}}）是[[流形]] ''Q'' 的[[余切丛]] <math>T^{*}Q</math> 上一个特殊的 [[1-形式]]。这个形式的[[外导数]]定义了一个[[辛形式]]给出了 <math>T^{*}Q</math> 的[[辛流形]][[辛结构|结构]]。重言 1-形式在[[哈密顿力学]]与[[拉格朗日力学]]的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为'''刘维尔 1-形式'''，'''典范 1-形式'''，或者'''辛势能'''。一个类似的对象是[[切丛]]上的典范[[向量场]]。

在[[正则坐标|典范坐标]]中，重言 1-形式由下式给出：
:<math>\theta = \sum_i p_i dq^i\ .</math>

在差一个全微分（[[恰当形式]]）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为[[正则变换|典范变换]]。

'''典范辛形式'''由

:<math>\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i\ ,</math>
给出。
==无坐标定义==
重言 1-形式可以相当抽象地定义为[[相空间]]上一个 1-形式。设 <math>Q</math> 是一个流形，<math>M=T^*Q</math> 是其[[余切空间]]或者说[[相空间]]。设

:<math>\pi:M\to Q\ ,</math>

是典范纤维丛[[投影]]，令

:<math>T_\pi:TM \to TQ\ ,</math>

是 <math>\pi</math> 诱导的[[前推 (微分)|前推]]。设 ''m'' 是 ''M'' 上一点，然而因为 ''M'' 是余切丛，我们可将 ''m'' 理解为切空间上一个函数，在 <math>q=\pi(m)</math> 点为：

:<math>m:T_qQ \to \mathbb{R}\ .</math>

这样，我们便有 ''m'' 是在 ''q'' 点的纤维中。重言 1-形式 <math>\theta_m</math> 在点 ''m'' 定义为

:<math>\theta_m = m \circ T_\pi\ .</math>

这是一个线性函数

:<math>\theta_m:T_mM \to \mathbb{R}\ ,</math>

所以

:<math>\theta:TM \to \mathbb{R}\ ,</math>

是流形 <math>M=T^*Q</math> 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

==性质==
重言 1-形式是惟一“消去”[[拉回 (微分几何)|拉回]]的 1-形式。这便是说：若

:<math>\beta:Q\to T^*Q</math> 

是 ''Q'' 上任意一个 1-形式，而 <math>\beta^*</math> 是其拉回。那么

:<math>\beta^*\theta = \beta\ ,</math> 

以及

:<math>\beta^*\omega = -d\beta\ .</math>

这些都可以用上一节的定义直接得到，如果写成局部坐标的形式就最好理解：

:<math>\beta^*\theta = \beta^*\sum_i p_idq^i = 
\sum_i \beta^*p_idq^i = \sum_i \beta_idq^i = \beta \ .</math>

==作用量==
如果 ''H'' 是[[余切丛]]上一个[[哈密顿力学|哈密顿向量场]]，而 <math>X_H</math> 是其[[哈密顿流]]，那么相应的[[作用量]] ''S'' 为

:<math>S=\theta (X_H)\ .</math>

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在[[哈密顿-雅可比方程]]限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用[[作用量-角度坐标]]传统记法：

:<math>S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i\ ,</math>

这里积分理解为在流形上的维持能量 <math>E</math> 为常数 <math>H=E=\text{const}</math> 的子集上进行。

==在度量空间上==
如果流形 ''Q'' 有一个[[黎曼流形|黎曼]]或者[[伪黎曼流形|伪黎曼]][[度量张量|度量]] ''g''，那么相应的定义可以用[[广义坐标]]写出。特别地，如果我们取度量为映射

:<math>g:TQ\to T^*Q\ ,</math>
这样便定义了

:<math>\Theta = g^*\theta</math>

和

:<math>\Omega = -d\Theta = g^*\omega</math>

在 ''TQ'' 上的广义坐标中 <math>(q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n)</math> ，我们有

:<math>\Theta=\sum_{ij} g_{ij} \dot q^i dq^j</math>

以及

:<math>\Omega= \sum_{ij} g_{ij} \; dq^i \wedge d\dot q^j +
\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \; 
\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k\ .</math>

度量使我们可定义 <math>T^*Q</math> 上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个[[切触几何|切触结构]]；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的[[测地线|测地流]]。

==又见==
* [[基本类]]

==参考文献==
* [[Ralph Abraham]] and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 3.2''.
* 贺龙广，辛几何与泊松几何引论，首都师范大学出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9

[[Category:辛几何|C]]
[[Category:哈密顿力学|C]]
[[Category:拉格朗日力学|C]]