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在[[理论物理]]中，'''重整化群'''（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“{{Internal link helper/en|标度变换|Scale transformation}}”。重整化群与“{{Internal link helper/en|标度不变性|Scale invariant}}”和“{{Internal link helper/en|共形不变性|Conformal invariant}}”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与[[自相似]]有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是[[原子]]，[[基本粒子]]，[[自旋]]等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

== 方程 ==
基本想法就是[[耦合常數|耦合常数]]依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。[[默里·盖尔曼]]和Francis E. Low于1954年提出了下面[[量子电动力学]]的重整化群方程：<ref>{{Cite web|title=Quantum Electrodynamics at Small Distances|url=https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf|accessdate=|author=M. Gellman and F. E. Low.|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2018-07-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20180724152732/https://authors.library.caltech.edu/60469/1/PhysRev.95.1300.pdf|dead-url=no}}</ref>{{Equation box 1|border|indent=:|equation={{math|''g''(''μ'') {{=}} ''G''<sup>−1</sup>( (''μ''/''M'')<sup>d</sup> ''G''(''g''(''M'')) ) }},|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}
{{Equation box 1|border|indent=:|equation={{math|''g''(κ) {{=}} ''G''<sup>−1</sup>(  (κ/''μ'')<sup>d</sup> ''G''(''g''(''μ'')) ) {{=}} ''G''<sup>−1</sup>( (κ/''M'')<sup>d</sup> ''G''(''g''(''M'')) )}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

[[费恩曼]]、[[朱利安·施温格]]、[[朝永振一郎]]在1965年赢了物理学的[[诺贝尔奖]]，因为他们都把重整化以及[[正規化]]等想法应用于[[量子电动力学]]。<ref>{{Cite book|chapter=Schwinger, Tomonaga, Feynman, and Dyson: the triumph of renormalization|url=https://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8|publisher=Oxford University Press|date=2003-08-14|isbn=978-0-19-170959-3|doi=10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8|language=en-US|first=Jagdish|last=Mehra|first2=Kimball A.|last2=Milton|title=|access-date=2020-03-04|archive-date=2020-07-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20200728162356/https://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|title=Sin-Itiro Tomonaga Nobel Lecture|url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1965/tomonaga/lecture/|accessdate=2020-03-04|author=|date=1966|format=|work=NobelPrize.org|publisher=|language=en-US|archive-date=2021-04-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210421161208/https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1965/tomonaga/lecture/|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|title=Renormalization theory of quantum electrodynamics|url=https://www.fuw.edu.pl/~kostecki/scans/schwinger1983.pdf|accessdate=|author=Schwinger|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2020-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200304070624/https://www.fuw.edu.pl/~kostecki/scans/schwinger1983.pdf|dead-url=no}}</ref>

[[利奥·卡达诺夫]]在1966年推出块自旋的概念来解释[[重整化]]。<ref name=":0">{{Cite journal|title=Scaling laws for ising models near T c|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263|last=Kadanoff|first=Leo P.|date=1966-06-01|journal=Physics Physique Fizika|issue=6|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263|volume=2|pages=263–272|language=en|issn=0554-128X}}</ref>

然后[[肯尼斯·威爾森]]使用重整化群解决[[近藤效应|近藤问题]]，<ref>{{Cite journal|title=The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.47.773|last=Wilson|first=Kenneth G.|date=1975-10-01|journal=Reviews of Modern Physics|issue=4|doi=10.1103/RevModPhys.47.773|volume=47|pages=773–840|language=en|issn=0034-6861}}</ref> 以及描述[[临界现象]]和第二[[相變]]。<ref>{{Cite journal|title=Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.4.3174|last=Wilson|first=Kenneth G.|date=1971-11-01|journal=Physical Review B|issue=9|doi=10.1103/PhysRevB.4.3174|volume=4|pages=3174–3183|language=en|issn=0556-2805}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.4.3184|last=Wilson|first=Kenneth G.|date=1971-11-01|journal=Physical Review B|issue=9|doi=10.1103/PhysRevB.4.3184|volume=4|pages=3184–3205|language=en|issn=0556-2805}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Critical Exponents in 3.99 Dimensions|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.28.240|last=Wilson|first=Kenneth G.|last2=Fisher|first2=Michael E.|date=1972-01-24|journal=Physical Review Letters|issue=4|doi=10.1103/PhysRevLett.28.240|volume=28|pages=240–243|language=en|issn=0031-9007}}</ref> 他1982年赢了[[诺贝尔奖]]。<ref>{{Cite web|title=THE RENORMALIZATION GROUP AND CRITICAL PHENOMENA|url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture-2.pdf|accessdate=|author=|date=|format=|publisher=K. G. Wilson|language=|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507002632/https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/wilson-lecture-2.pdf|dead-url=no}}</ref>

== 块自旋 ==
这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由[[利奥·卡达诺夫]]在1966年推导出来的。<ref name=":0" />

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为<math>T</math>，相互作用的强度使用耦合常数<math>J</math>来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为<math>H(T, J)</math>。

[[File:Rgkadanoff.png|180px]]

现在，我们把这个系统分为有着<math>2\times 2</math>个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数<math>T</math>和<math>J</math>不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到<math>H(T'', J'')</math>，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个'''不动点'''上的数。

现在考虑一个具体的例子：[[铁磁]]-[[顺磁]][[相变]]中的[[伊辛模型]]。在这个模型里，耦合常数<math>J</math>代表邻近[[电子]][[自旋]]平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

# <math>T=0</math>和<math>J\to\infty</math>。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于[[铁磁]]相。
# <math>T\to\infty</math>和<math>J\to 0</math>。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
# <math>T=T_c</math>且<math>J=J_c</math>。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应[[居里点|居里相变]]，这个点称为[[临界点]]。

==基本理论==
假设有一个可以用状态变量<math>\{s_i\}</math>和一组耦合常数<math>\{J_k\}</math>表示的函数<math>Z</math>。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个[[配分函数]]、[[作用量]]、[[哈密顿量]]等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换<math>\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}</math>，<math>\tilde s_i</math>所包含的数目必须小于<math>s_i</math>。接下来我们可以把函数<math>Z</math>只用<math>\tilde s_i</math>来表示。如果<math>\{J_k\}\to
\{\tilde J_k\}</math>也是可以实现的，那么就说这个物理系统是'''可重整化'''的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如[[量子电动力学]]，[[量子色动力学]]，电弱相互作用等，但是[[引力]]是无法重整化的。此外，[[凝聚态物理]]中的大部分理论也是可以被重整化的，比如[[超导]]，[[超流]]。

变量的变换可以由一个[[β函数 (物理学)|β函数]]实现：<math>\{\tilde
J_k\}=\beta(\{ J_k \})</math>。这一函数可以在<math>J</math>空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

== 举例计算 ==
参见{{Internal link helper/en|Phi fourth theory|Quartic interaction}}（四次交互论； <math>\phi^4</math>论）。欧几里得空间的[[拉氏量]]是<center><math>\mathcal{L}(\phi) = {m^2 \over 2} \phi^2  + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2  + {\lambda \over 4!} \phi^4 . </math></center>[[配分函数]]或[[泛函积分]]是：<center><math>Z=\int \mathcal{D}\phi \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].</math></center>通过重正化以及正规化 <math>\Lambda</math>：

<math>[D \phi]_\Lambda = \prod _{|p|<\Lambda} d \phi (p) </math><center><math>Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_\Lambda \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].</math></center>若 <math>0<b<1</math>：<center><math>\hat{\phi}(p) = \begin{cases}
  \phi (p),  & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\
  0, & \mbox{if } |p|<b \Lambda
\end{cases} </math></center><center><math>\phi(p) = \begin{cases}
  0,  & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| < \Lambda \\
  \phi (p), & \mbox{if } |p|<b \Lambda
\end{cases} </math></center>所以<center><math>Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} (\phi+\hat{\phi})^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi + \partial _\mu \hat{\phi})^2 + {\lambda \over 4!} (\phi+\hat{\phi})^4\right) \right].</math></center>介绍 <math>\phi \hat{\phi}</math> ：<center><math>Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} e^{-\int d^{(d)} x \mathcal{L}(\phi)} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \hat{\phi}^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \hat{\phi})^2 + \lambda ({1 \over 6}\phi^3 \hat{\phi}+{1 \over 4}\phi^2 \hat{\phi}^2+{1 \over 6}\phi \hat{\phi}^3+{1 \over 4!}\hat{\phi}^4)\right) \right].</math></center>所以新的拉氏量是<math>\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)</math>以及<center><math>Z=\int \left[ \mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \exp{\left[ -\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff}(\phi) \right]} ,</math></center><math>\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)</math> 不同于<math>\mathcal{L} (\phi)</math>，因为<math>\lambda , \phi</math> 改变了。 上面的 Z 陈述一个{{Internal link helper/en|effective field theory|effective field theory}}。若 <math>x'= b x, p'={p \over b}, |p|<\Lambda</math>.<center><math>\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' b^{-d} \left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^2(\partial' _\mu \phi)^2 +{1 \over 2}(m^2+\Delta m^2) \phi^2 + {1 \over 4!}(\lambda+\Delta \lambda)\phi^4 + \Delta B b^4 (\partial' _\mu \phi)^4 + \Delta C \phi^6 + ... \right]</math></center>假设<center><math>\phi'=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2} \cdot \phi</math></center><center><math>m'^2=(1+\Delta Z)^{-1}(m^2+\Delta m^2)b^{-2}</math></center><center><math>\lambda'=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda+\Delta\lambda)b^{d-4}</math></center><center><math>B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}</math></center><center><math>C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}</math></center>所以<center><math>\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' \left[{1 \over 2}(\partial' _\mu \phi')^2 +{1 \over 2}m'^2 \phi'^2 + {1 \over 4!}\lambda' \phi^4 + \Delta B (\partial' _\mu \phi')^4 + \Delta C' \phi'^6 + ... \right]</math></center>[[耦合常數]]的变量为 <math>\Delta m^2, \Delta Z, \Delta \lambda</math>。[[耦合常數]]的演进是[[动力系统]]的[[临界点]]：<center><math>m'^2=m^2b^{-2}, \lambda'=\lambda b^{d-4}, B'=B b^d, C'=C b^{2d-6} </math></center>

=== 三种耦合 ===

* 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
* 相关耦合（relevant）：耦合增加了
* 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 <math>d=4</math>，因为<math>b<1</math>所以B和C是无关的，m是相关的，并且<math>\lambda</math>是边缘的。

而且<math>\phi^4</math>论是可重整化的。

== 动力系统的重整化 ==
[[米切爾·費根鮑姆]]使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于[[分岔理論]]。<ref>{{Cite web|title=Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976|url=http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf|accessdate=|author=|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2010-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20101214050721/http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf|dead-url=yes}}</ref>

[[阿图尔·阿维拉]]（[[巴西]]数学家）也将重整化群应用于[[动力系统]]、[[費根鮑姆常數]]等<ref>{{Cite web|title=The work of Artur Avila|url=https://www.imj-prg.fr/IMG/pdf/avila2014.pdf|accessdate=|author=Étienne Ghys|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2020-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20200304064833/https://www.imj-prg.fr/IMG/pdf/avila2014.pdf|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|title=Papers|url=https://webusers.imj-prg.fr/~artur.avila/papers.html|accessdate=|author=A. Avila|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2021-01-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20210126054045/https://webusers.imj-prg.fr/~artur.avila/papers.html|dead-url=no}}</ref>

其他应用包括：

* [[混沌理论]]
* [[湍流]]
* [[分形]]
* [[隨機微分方程|随机微分方程]]、{{Internal link helper/en|Kardar–Parisi–Zhang equation|Kardar–Parisi–Zhang equation}}<ref>{{Cite web|title=Solving the KPZ equation|url=https://annals.math.princeton.edu/2013/178-2/p04|accessdate=|author=Hairer|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2021-03-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20210308021558/https://annals.math.princeton.edu/2013/178-2/p04|dead-url=no}}</ref>、参见[[马丁·海雷尔]]的研究<ref>{{Cite journal|title=Renormalisation of parabolic stochastic PDEs|url=http://arxiv.org/abs/1803.03044|last=Hairer|first=Martin|date=2018-03-08|journal=arXiv:1803.03044 [math-ph]|access-date=2020-03-04|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506232509/https://arxiv.org/abs/1803.03044|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=An analytic BPHZ theorem for regularity structures|url=http://arxiv.org/abs/1612.08138|last=Chandra|first=Ajay|last2=Hairer|first2=Martin|date=2018-01-22|journal=arXiv:1612.08138 [math-ph]|access-date=2020-03-04|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506155225/https://arxiv.org/abs/1612.08138|dead-url=no}}</ref>
* [[渗流理论]]

等

==参见==
*[[重整化]]
*[[密度矩陣重整化群]]
*[[临界现象]]
*[[普遍性 (物理学)|普遍性]]

==扩展阅读==
===入门教程与历史回顾===
* S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. '''69''', 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
* N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
* [[Dmitry Shirkov|D. V. Shirkov]] (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group.  [http://arxiv.org/abs/hep-th/9909024 arXiv.org:hep-th/9909024] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/9909024 |date=20210506210419 }}. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
* B. Delamotte (2004):  A hint of renormalization. [http://scitation.aip.org/journals/doc/AJPIAS-ft/vol_72/iss_2/170_1.html American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004] {{Wayback|url=http://scitation.aip.org/journals/doc/AJPIAS-ft/vol_72/iss_2/170_1.html |date=20080821122039 }}. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group.  For nonsubscribers see [http://arxiv.org/abs/hep-th/0212049 arXiv.org:hep-th/0212049] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0212049 |date=20160801002113 }}
* H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group.  [http://dx.doi.org/10.1119/1.11224  American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657] {{Wayback|url=http://dx.doi.org/10.1119/1.11224 |date=20190630215407 }}.  A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
* K. Huang [[黃克孫]] (2013): A Critical History of Renormalization. [http://arXiv.org/pdf/1310.5533 arXiv:1310.5533] {{Wayback|url=http://arxiv.org/pdf/1310.5533 |date=20190630215356 }}
*{{cite web | last=Shirkov | first=D. V. | date=2001-08-31 | url=http://cerncourier.com/cws/article/cern/28487 | title=Fifty years of the renormalization group | publisher=CERN Courier | accessdate=2008-11-12 | archive-date=2008-12-03 | archive-url=https://web.archive.org/web/20081203130935/http://cerncourier.com/cws/article/cern/28487 | dead-url=no }}

===相关著作===
*[[Tsung-Dao Lee|T. D. Lee]] [[李政道]]; ''Particle physics and introduction to field theory'', Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
*L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; ''The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence''; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
*Vasil'ev, A. N.; ''The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics''; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
*Zinn-Justin, Jean; ''Quantum field theory and critical phenomena'', Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
*The same author: ''Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories'', in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on ''Quantum Field Theory: Perspective and Prospective'', June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999)  [ISBN ]. Full text available in [http://www-spht.cea.fr/articles/t98/118/ ''PostScript''] {{Wayback|url=http://www-spht.cea.fr/articles/t98/118/ |date=20170827105815 }}.
* [[Hagen Kleinert|Kleinert, H.]] and Schulte Frohlinde, V; ''Critical Properties of φ<sup>4</sup>-Theories'', [https://web.archive.org/web/20080226151023/http://www.worldscibooks.com/physics/4733.html World Scientific (Singapore, 2001)];  Paperback ISBN 981-02-4658-7''. Full text available in [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b8 PDF] {{Wayback|url=http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b8 |date=20080629214319 }}.

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{DEFAULTSORT:C}}

[[Category:量子场论]]
[[Category:统计力学]]
[[Category:重整化群| ]]
[[Category:缩放对称性]]
[[Category:数学物理]]
{{量子场论}}