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{{NoteTA
| G1=Math
}}
在[[泛函分析]]中有多个有名的定理冠以'''里斯表示定理'''（{{lang-en|Riesz representation theorem}}），它们是为了纪念[[匈牙利]][[数学家]][[弗里杰什·里斯]]。

== 希尔伯特空间的表示定理 ==
此定理說明[[希尔伯特空间]]的[[連續]][[線性泛函]]都可以表示成內積。

'''定理'''：<math> H </math>是個複[[希尔伯特空间]]（也就是标量是複數），那對於任意[[連續]][[線性泛函]] <math> f:H\to\C </math>，存在唯一的 <math> v_f \in H </math> 使得

:<math> f(h) = \langle v_f,\,h\rangle </math>

證明的重點在於先證明<math> f </math> 的[[核 (线性算子)|核]]的[[正交补]]是 <math> H</math> 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 <math>z</math>，設 <math>v_f = \frac{f(z) \cdot z }{{\|z\|}^2}</math>。

=== 與狄拉克符號的關係 ===
这个定理也是[[量子力学]]中的[[狄拉克符号]]於數學上合理的依據；也就是說，当[[機率幅]] [[機率幅|<math>\langle\psi|\phi\rangle</math>]] 對每個任意[[態向量]] [[機率幅|<math>|\phi\rangle</math>]] 都是連續的時候，可以視為每个左向量 <math>\langle\psi|</math> （也就是表示躍遷到 <math>\psi</math> 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 <math>|\psi\rangle</math> 來同時代表同一個[[純態]] <math>\psi</math> ，因為根據以上的表現定理， [[機率幅|<math>\langle\psi|\phi\rangle</math>]] 就是 <math>|\psi\rangle</math> 和 [[機率幅|<math>|\phi\rangle</math>]] 的內積。

== 里斯-马尔可夫表示定理 ==
{{main|{{le|里斯-馬可夫-角谷表示定理|Riesz–Markov–Kakutani representation theorem}}}}

=== 歷史 ===
历史上，通常认为这个定理同时由[[弗里杰什·里斯|里斯]]和[[莫里斯·雷内·弗雷歇|弗雷歇]]发现<ref>{{Cite journal |last=Gray |first=J. D. |date=1983-08-15 |title=The shaping of the riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348293 |journal=Archive for History of Exact Sciences |issue=31 |page=127–187 |doi=10.1007/BF00348293 |access-date=2023-02-13 |via=Springer |archive-date=2023-07-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230731080911/https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348293 |dead-url=no }}</ref>
{{Quotation|
给定[[線性泛函|算子]] <math>A[f]</math>，（任何人）可以構造一個[[有界变差|有界变差函数]] <math>\alpha(x)</math>，使得，對任何[[连续函数]] <math>f(x)</math> ，（任何人）有
:<math>A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x)</math>。
<br />
{{Lang|fr|Étant donnée [[線性泛函|l'opération]]}} <math>A[f]</math> {{Lang|fr|, on peut déterminer [[有界变差|la fonction à variation bornée]]}} <math>\alpha(x)</math> {{Lang|fr|, telle que, quelle que soit [[连续函数|la fonction continue]]  }} <math>f(x)</math> {{Lang|fr|, on ait}}
:<math>A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x)</math>.
|[[里斯·弗里杰什|Riesz]], 1909
}}
=== 支集為緊的連續函數空間 ===
<math> C_c(X) </math> 意為由所有[[支集]]為[[紧空间|紧]]的[[连续函数]] <math> f:X\to\C </math> 所構成的函数空间。

'''定理'''： ''<math> X </math>'' 是[[局部緊|局部紧]]的[[豪斯多夫空间]] ，則對[[線性泛函|正线性泛函]] ''<math> \Lambda:C_c(X)\to\R^+ </math>''，存在一個含有所有 ''<math> X </math>'' 的[[博雷爾集]]的[[Σ-代数]] ''<math> \mathfrak{M} </math>'' ，且存在唯一的[[测度]]''<math> \mu:\mathfrak{M}\to\R^{+}\cup\{-\infty,\,\infty\} </math>'' 使得<ref name=":0">{{Cite book|title=Real and Complex Analysis|last=Walter Rudin|publisher=McGRAW-HILL|year=1976|isbn=978-0070542327|pages=}}</ref>
:<math> \Lambda(f) = \int_X f \, d \mu </math>
且（以下的條件稱為'''正則的'''） 

*对所有 ''<math> X </math>'' 的[[紧空间|紧子集]] ''<math> K\subseteq X </math>'' ，''<math> \mu(K)\in \R </math>''。
* 若 ''<math> E\in \mathfrak{M} </math>''  ，則 <math> \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U,\,U \text{ is open}\}</math>
* 若 ''<math> E\in \mathfrak{M} </math>'' 且 ''<math> \mu(E)\in \R </math>'' ，則 <math> \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E,\,K \text{ is compact}\}</math>
* 若''<math> O </math>'' 為 ''<math> X </math>'' 的開集，則<math> \mu(O) = \sup \{\mu(K): K \subseteq O,\,K \text{ is compact}\}</math> 

=== 於無窮遠處消失的連續函數空間 ===
里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 <math> C_0(X) </math> 為 ''<math> X </math>'' 上所有[[在無窮遠處消失]]的[[连续函数]] <math> f:X\to\C </math> 所構成的函数空间。

'''定理'''：''<math> X </math>'' 是[[局部緊|局部紧]]的[[豪斯多夫空间]]。則對[[有界算子|有界]][[線性泛函|线性泛函]] ''<math> \Lambda:C_0(X)\to\R </math>''，存在一個含有所有 ''<math> X </math>'' 的[[博雷爾集]]的[[Σ-代数]] ''<math> \mathfrak{M} </math>'' ，且存在唯一的'''正則'''[[测度]]''<math> \mu:\mathfrak{M}\to\R\cup\{-\infty,\,\infty\} </math>'' 使得<ref name=":0" />
:<math> \Lambda(f) = \int_X f \, d \mu </math>
且 ''<math> \Lambda </math>'' 的[[范数]]是 ''<math> \mu </math>'' 的[[全变差]]（{{lang-en|total variation}}），即
:<math> \|\Lambda\| = |\mu|(X).</math>
最后，''<math> \Lambda </math>'' 是[[正线性泛函|正]]的当且仅当测度 ''<math> \mu </math>'' 是非负的。 

'''注'''：<math> C_c(X) </math> 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 <math> C_0(X) </math>上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]。但是 <math> C_c(X) </math> 上一个无界正线性泛函不能延拓为 <math> C_0(X) </math> 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

== 参考文献 ==

* M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. ''[[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]]'' '''144''', 1414–1416.
* F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. ''C. R. Acad. Sci. Paris'' '''144''', 1409–1411.
* F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. ''C. R. Acad. Sci. Paris'' ''149'', 974–977.
* J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
* P. Halmos ''Measure Theory'', D. van Nostrand and Co., 1950.
* P. Halmos, ''A Hilbert Space Problem Book'', Springer, New York 1982 ''(problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems)''.
* D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, ''[[American Mathematical Monthly]]'', '''90'''(4), 277-280 ''(A category theoretic presentation as natural transformation)''.
* Walter Rudin, ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
* {{mathworld|urlname=RieszRepresentationTheorem|title=Riesz Representation Theorem}}
* {{planetmath reference|id=6130|title=Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces|urlname=proofofrieszrepresentationtheoremforseparablehilbertspaces}}


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