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在[[数学]]的分支[[泛函分析]]中，'''部分等距映射'''是[[希尔伯特空间]]之间的一种[[线性映射]]，它在[[核 (代数)|核]]的[[正交补]]上的[[限制 (數學)|限制]]是一个[[等距同构|等距映射]]。

其核的正交补称为'''始子空间'''，其值域称为'''终子空间'''。本文中，算子 <math>W</math> 的始、终子空间分别记作 <math>\mathcal{I}W,\mathcal{F}W</math> 。

== 一般定义 ==
部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 <math>H_1</math> 是希尔伯特空间 <math>H</math> 的一个[[闭子集]]  ，而 ''<math>U</math>'' 是 <math>H_1</math> 上的等距映射，则我们可以定义 ''<math>U</math>'' 到 <math>H</math> 的一个[[映射的扩张|扩张]] <math>W</math> ， <math>W</math> 在 ''<math>H_1</math>'' 的正交补上的值为[[零向量|零]]。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。

基于{{Le|*-半群|Semigroup with involution}}，可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。

== 有限维情况的特性 ==
在有限维向量空间中，矩阵 <math>A</math> 是一个部分等距当且仅当 <math> A^*A</math> 是到其[[支撑集]]的[[投影 (线性代数)|投影]]。相比之下，[[等距同构|等距映射]]的定义是更强的：矩阵 <math>V</math> 是一个等距映射当且仅当 <math>V^* V=I</math>  。换句话说，等距对称是一种[[单射]]的部分等距映射。

通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如 <math>A=\begin{pmatrix}V & 0\end{pmatrix}</math> 的矩阵，也就是说，其前 <math>\operatorname{rank}(A)</math> 列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。

注意对于任何等距映射 <math>V</math> ，其[[埃尔米特共轭]] <math>V^*</math> 都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。

== 算子代数 ==
在[[算子代数]]中，可用下面的方式{{Explain|reason=缺乏\mathcal{R}的记号说明。推测为值域。}}引入始子空间和终子空间：

: <math>\mathcal{I}W:=\mathcal{R}W^*W,\,\mathcal{F}W:=\mathcal{R}WW^*.</math>

=== C*-代数 ===
对于[[C*-代数]]，由于C*-性质，存在等价链：

: <math>(W^*W)^2=W^*W\iff WW^*W=W\iff W^*WW^*=W^*\iff(WW^*)^2=WW^*</math>

因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为 <math>W^*W,WW^*</math> 。

一对按[[等价关系]]划分{{Explain|reason=何种等价关系？}}的投影：

: <math>P=W^*W,\,Q=WW^*</math>

它在C*-代数的[[K-理论]]和[[冯诺依曼代数]]中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。

== 几类重要的部分等距映射 ==

=== 投影算子 ===
任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距：

: <math>P:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}:\quad\mathcal{I}P=\mathcal{F}P</math>

=== 嵌入映射 ===
任何等距[[嵌入 (数学)|嵌入]]映射都是始子空间为全空间的部分等距：

: <math>J:\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}J=\mathcal{H}</math>

=== 幺正算子 ===
任何[[幺正算子]]都是始、终子空间为全空间的部分等距：

: <math>U:\mathcal{H}\leftrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}U=\mathcal{H},\,\mathcal{F}U=\mathcal{K}</math>

== 例子 ==

=== 幂零矩阵 ===
在二维复希尔伯特空间上的矩阵

: <math> \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

是一个部分等距，其始子空间为

: <math> \{0\} \oplus \mathbb{C}</math>

而终子空间为

: <math> \mathbb{C} \oplus \{0\}. </math>

=== 一般有限维示例 ===
有限维中的其他可能例子有<math display="block">A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\0&0&0\end{pmatrix}.</math>这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是 <math>\mathbf e_1\equiv (1,0,0)</math> 和 <math>\frac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_2+\mathbf e_3)\equiv (0,1/\sqrt2,1/\sqrt2)</math> 的[[线性生成空间]]，若将 <math>A</math> 限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证 <math>A^* A= \Pi_{\operatorname{supp}(A)}</math> ，也就是说 <math>A^* A</math> 是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于[[方块矩阵|方阵]]。例如，<math display="block">A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac12&\frac12\\ 0 & 0 & 0 \\ 0& \frac12 & \frac12\end{pmatrix}.</math>该矩阵的支撑集由 <math>\mathbf e_1\equiv (1,0,0)</math>和<math>\mathbf e_2+\mathbf e_3\equiv (0,1,1)</math> [[线性生成空间|张成]]，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的[[恒等映射]]）。

还有一个例子<math display="block">A = \begin{pmatrix}0 & \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} \\ 1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},</math>这次 <math>A</math> 在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。

容易验证 <math>A\mathbf e_1=\mathbf e_2</math> 以及 <math>A \left(\frac{\mathbf e_2 + \mathbf e_3}{\sqrt2}\right) = \mathbf e_1</math> ，这表明了 <math>A</math> 在其支撑集 <math>\operatorname{span}(\{\mathbf e_1, \mathbf e_2+\mathbf e_3\})</math> 与其值域 <math>\operatorname{span}(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\})</math> 间的等距性质。

=== 左平移和右平移 ===
[[L2 空间|平方可和序列空间]]上的左平移和右平移算子

: <math>R:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(0,x_1,x_2,\ldots)</math>

: <math>L:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(x_2,x_3,\ldots)</math>

有下列关系

: <math>R^*=L.</math>

而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成

: <math>LR(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots)</math>

其终子空间则是：

: <math>RL(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_2,\ldots).</math>

== 参考资料 ==

* {{cite book |last1=Conway |first1=John Bligh |title=A course in operator theory |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, R.I |isbn=0-8218-2065-6|year=1999}}
* {{cite journal|last1=Carey|first1=R. W. | last2= Pincus | first2= J. D. |title= An Invariant for Certain Operator Algebras| journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] | volume=71|number=5|pages=1952–1956|date=May 1974|doi=10.1073/pnas.71.5.1952 |pmid=16592156 |pmc=388361 |bibcode=1974PNAS...71.1952C |doi-access=free }}
* {{cite book |last1=Paterson |first1=Alan L. T. |title=Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras |publisher=Birkhäuser |location=Boston |isbn=0-8176-4051-7|year=1999}}
* {{cite book |last1=Lawson |first1=Mark V. |title=Inverse semigroups: the theory of partial symmetries |publisher=World Scientific |location=Singapore New Jersey London |isbn=981-02-3316-7|year=1998}}
* {{cite arXiv |eprint=1903.11648|author1=Stephan Ramon Garcia |author2=Matthew Okubo Patterson |last3=Ross |first3=William T. |title=Partially isometric matrices: A brief and selective survey |year=2019 |class=math.FA }}

== 外部链接 ==

* [https://web.archive.org/web/20141027161712/http://www.math.tamu.edu/~pskoufra/OANotes-PartialIsometries.pdf 重要性质及证明]
* [https://math.stackexchange.com/q/614331 替代证明]

[[Category:半群论]]
[[Category:C*-代数]]
[[Category:算子理论]]