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{{微积分学}}
'''部分分式积分法'''，即通过将原[[函数]]拆分为[[部分分式]]来简化[[积分]]步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何[[有理数|有理]]函数都可拆分为多个[[多项式]]和部分分式的和，每个部分分式中的[[分子]]次数小于[[分母]]，然后根据[[积分表]]及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。

==例子==
以下是一个简单的例子。计算<math>\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx</math>时，需要先将它拆分为部分分式：
:<math>{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}</math>
通分得到：
:<math>10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,</math>
整理，原式变为：
:<math>10x^2+12x+20=(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+(4A-2C)\,</math>
因此，
:<math>A+B=10\,</math>
:<math>2A-2B+C=12\,</math>
:<math>4A-2C=20\,</math>
解方程组，得到：
:<math>A=7\,</math>
:<math>B=3\,</math>
:<math>C=4\,</math>
所以：
:<math>{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}</math>
即：
:<math>\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx = \int ({7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4})\,dx = \int{7 \over x-2}\,dx + \int {3x+4 \over x^2+2x+4}\,dx</math>
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利用[[换元积分法]]，将<math>x-2\,</math>与<math>x^2+2x+4\,</math>分别换元，便得到结果：
::<math>\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx</math>
:<math>= 7 \ln |x-2| + \int {{\frac{3}{2} (2x+2)+1} \over x^2+2x+4}\,dx</math>
:<math>=7 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \int {2x+2 \over x^2+2x+4}\,dx + \int {1 \over (x+1)^2+3}\,dx</math>
:<math>=7 \ln |x-2| + \frac{3}{2} \ln |x^2+2x+4| + \frac{1}{\sqrt 3} \arctan ({x+1 \over {\sqrt 3}})+C</math>

==外部链接==
* [http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/partialfract.html 拆分为部分分式] {{Wayback|url=http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/partialfract.html |date=20041111035047 }}
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral 在线积分器] {{Wayback|url=http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral |date=20081201045032 }}

[[Category:积分学]]