查看“︁邻域”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{for|圖論中，與某頂點相鄰的點集|{{le|鄰域 (圖論)|Neighbourhood (graph theory)}}}}
[[File:Neighborhood illust1.svg|thumb|在平面上集合<math>V</math>是点<math>p</math>的邻域，如果围绕''<math>p</math>''小圆盘包含在''<math>V</math>''中。]]
[[File:Neighborhood illust2.svg|thumb|矩形不是它的任何一角的邻域。]]

在[[集合论]]中，'''邻域'''（{{lang-en|Neighbourhood}}）指以点<math>a</math>为中心的任何[[开区间]]，记作：<math>U(a)</math>。

在[[拓扑学]]和相关的[[数学]]领域中，邻域是[[拓扑空间]]中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是[[外延]]的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

== 定义 ==
在[[集合论]]中，有以下几种邻域：
:<math>\delta</math>邻域：<math>U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)=\left\{x \mid |x-a|<\delta\right\}</math>
:去心邻域：<math>U_{0}(a,\delta)=\left\{x \mid 0<|x-a|<\delta\right\}</math>
:左邻域：<math>(a-\delta,a)</math>
:右邻域：<math>(a,a+\delta)</math>

在[[拓扑学]]中，[[拓扑空间]]<math>X</math>，<math>A</math>，<math>B\subseteq X</math>，称<math>B</math>是<math>A</math>的邻域，当且仅当以下条件之一成立：
* 存在开集<math>C</math>，使得<math>A\subseteq C\subseteq B</math>。
* <math>A\subseteq B^O </math>。（<math>B^O</math>是<math>B</math>的内部）

;开邻域，闭邻域
:若<math>B</math>是开集，则<math>B</math>称为<math>A</math>的开邻域；若<math>B</math>是闭集，则<math>B</math>称为<math>A</math>的闭邻域。
;邻域系统
:设<math>x\in X</math>，则<math>\{ x \}</math>所有邻域的集合<math>U(x)</math>，称为<math>x</math>（或<math>\{ x \}</math>）的[[邻域系]]。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果<math>S</math>是<math>X</math>的子集，''<math>S</math>''的邻域是集合<math>V</math>，它包含了包含''<math>S</math>''的开集<math>U</math>。可得出集合''<math>V</math>''是''<math>S</math>''的邻域，当且仅当它是在''<math>S</math>''中的所有点的邻域。

== 鄰域的度量空间定義 ==
[[File:Neighborhood illust3.svg|thumb|平面上的集合''<math>S</math>''和''<math>S</math>''的一致邻域''<math>V</math>''。]]
在[[度量空间]]<math>M=(X,d)</math>中，集合''<math>V</math>''是点<math>p</math>的邻域，如果存在以''<math>p</math>''为中心和半径为<math>r</math>的[[开球]]，
:<math>B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
它被包含在''<math>V</math>''中。

=== 一致邻域 ===
''<math>V</math>''叫做集合''<math>S</math>''的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数''<math>r</math>''使得对于''<math>S</math>''的所有元素''<math>p</math>''，
:<math>B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
被包含在''<math>V</math>''中。

对于<math>r>0</math>集合''<math>S</math>''的''<math>r</math>''-邻域<math>S_r</math>是''<math>X</math>''中与''<math>S</math>''的距离小于''<math>r</math>''的所有点的集合（或等价的说<math>S_r</math>是以''<math>S</math>''中一个点为中心半径为''<math>r</math>''的所有开球的并集）。

可直接得出''<math>r</math>''-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个''<math>r</math>''值的''<math>r</math>''-邻域。
<br>
參見[[一致空間]]。

=== 非一致邻域的例子 ===
给定[[实数]]集<math>\R</math>带有平常的[[欧几里得度量]]和如下定义的子集''<math>V</math>''
:<math>V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right)</math>，
则''<math>V</math>''是[[自然数]]集合<math>N</math>的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為<math>r=\frac{1}{n}</math>並不是一個固定值。

=== 去心邻域 ===
点 <math>p</math> 的去心邻域（{{Lang-en|deleted neighborhood}} 或 {{Lang|en|punctured neighborhood}}）是点 <math>p</math> 的邻域中减去 <math>\{p\}</math> 后得到的[[差集]]。例如，[[区间]] <math>(-1, 1) = \{y: -1 < y < 1\}</math> 是 <math>p = 0</math> 在[[实数轴]]上的邻域，因此集合 <math>(-1, 0)\cup(0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\}</math> 是 <math>p = 0</math> 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论[[函数极限]]时，会用到去心邻域的概念。

== 基于邻域的拓扑 ==

上述定义適用於[[开集]]的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义[[邻域系统]]，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在''<math>X</math>''上的邻域系统是[[滤子 (数学)|滤子]]<math>N(x)</math>（在集合''<math>X</math>''上）到每个''<math>X</math>''中的<math>x</math>的指派，使得
# 点''<math>x</math>''是每个''<math>N(x)</math>''中的''<math>U</math>''的元素，
# 每个''<math>N(x)</math>''中的''<math>U</math>''包含某个''<math>N(x)</math>''中的''<math>V</math>''使得对于每个''<math>V</math>''中的<math>y</math>有着''<math>U</math>''在<math>N(y)</math>中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

==引用==
*{{cite book
 | last = Kelley
 | first = John L.
 | title = General topology
 | publisher = New York: Springer-Verlag
 | date = 1975
 | pages = 
 | isbn = 0387901256
}}

*{{cite book
 | last = Bredon
 | first = Glen E.
 | title = Topology and geometry
 | publisher = New York: Springer-Verlag
 | date = 1993
 | pages = 
 | isbn = 0387979263
}}

*{{cite book
 | last = Kaplansky
 | first = Irving 
 | title = Set Theory and Metric Spaces 
 | publisher = American Mathematical Society
 | date = 2001
 | pages = 
 | isbn = 0821826948
}}
==参见==
*[[局部基]]
*[[第一可数空间]]
*[[管状邻域]]

{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学|L]]
[[Category:數學分析]]