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在[[数学]]中，'''階乘冪'''（{{lang-en|Factorial power}}）是基于[[自然數]][[数列]]积的一种运算，分為'''遞進階乘'''（{{lang-en|Rising factorial}}）和'''遞降階乘'''（{{lang-en|Falling factorial}}），或稱'''上升階乘'''和'''下降階乘'''，

== 定义 ==

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由{{en-link|里奧·珀赫哈默尔|Leo August Pochhammer}}引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為<math>\ x^{(n)}</math> 与 <math>\ (x)_n</math> 。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作 <math>\ (x)^+_n</math> 。

[[葛立恒]]、[[高德纳]]与{{link-en|奧倫·帕塔什尼克|Oren Patashnik}}在《[[具体数学]]》一书中，則引进符號 <math>x^{\overline{n}}</math> 与 <math>x^{\underline{n}}</math> 。

=== 遞進階乘 ===

在[[组合学]]和[[特殊函数]]理论中，遞進階乘用于表达上升[[自然數]]数列的[[积]]，定义为

:<math>x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!} </math>

=== 遞降階乘 ===

在[[组合学]]中也常用遞降階乘：

:<math>x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!} </math>

另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 <math>P^x_n</math>，详见[[排列]]。

=== 两者的关系 ===

遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为：

:<math>x^{\overline{n}}=(x+n-1)^{\underline{n}}</math>

它們与[[阶乘]]的关系为：

:<math> 1^{\overline{n}}=n^{\underline{n}}=n! </math>

== 擴展 ==

===零次幂===

零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為[[空積]] 1 :

:<math>x^{\overline{0}}=x^{\underline{0}}=1</math> 。

=== 实数 ===

運用[[伽玛函数]]，階乘冪的定義域可以扩展到[[实数]]。

遞進階乘的定义變為

:<math>x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} \quad x,x+n\ne0,-1,-2,\cdots</math>

遞降階乘则为

:<math>x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} \quad x,x+n\ne-1,-2,-3,\cdots</math>

== 特性 ==

遞進階乘与遞降階乘都能以[[二项式系数]]形式表达：

:<math>\frac{x^{\overline{n}}}{n!} = {x+n-1 \choose n}</math>
:<math> \frac{x^{\underline{n}}}{n!} = {x \choose n}</math> 

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。


显然，遞進階乘与遞降階乘作为 ''n'' 个连续整数的积，它定能被 ''n'' [[整除]]，即

:<math> n|x^{\overline{n}}</math> ；
:<math> n|x^{\underline{n}}</math> 。


當 ''n''=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个[[完全平方]]数减1，即

:<math> x^{\overline{4}} = k^2-1</math>；
:<math> x^{\underline{4}}=k^2-1</math> 。


遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似[[二项式定理]]的规则:

:<math>(a+b)^{\overline{n}} = \sum_{{r=0}}^n {n \choose r} a^{\overline{n-r}}b^{\overline{r}}</math> 

:<math>(a+b)^{\underline{n}} = \sum_{{r=0}}^n {n \choose r} a^{\underline{n-r}}b^{\underline{r}}</math> 

其中系数为[[二项式系数]]。


因为遞降階乘是[[多项式环]]的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

:<math>x^{\underline{m}} x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} {n \choose k} k!\, x^{\underline{m+n-k}}</math>

等式右边的系数则为[[二项式系数]]。

==一般化==

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

:<math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)</math>
:<math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)</math>

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 <math>[x]^{k/1}</math> 和 <math>[x]^{k/-1}</math> 。

==与亚微积分的關係 ==
{{Refimprove|time=2007-10-29T19:54:17Z}}
[[差分方程]]里常使用遞降階乘。其应用与[[微积分学]]中的[[泰勒定理]]非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 <math>x^{\underline{k}}</math> 替代微分中的 <math>x^k</math> 例如：

:<math>\Delta x^{\underline{k}} = k x^{\underline{k-1}}\,</math>

与

:<math>  \frac{\partial}{\partial x} {x^k}= k x^{k-1}\,</math>

这种相似性在数学中称为[[亚微积分]]。亚微积分涵盖如[[多项式]]的[[二项式型]]和[[谢费尔序列]]。

== 程序实现 ==

=== Mathematica ===
<math>\text{Pochhammer}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!} </math><ref>{{Cite web |title=Pochhammer—Wolfram 语言参考资料 |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/Pochhammer.html.zh |website=reference.wolfram.com |access-date=2022-08-23}}</ref>

== 参考文献 ==
* {{citation | first1=Ronald L. | last1=Graham | first2=Donald E. |last2=Knuth | first3=Oren E. |last3=Patashnik | year=1988 | title=Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science| |isbn=0-201-14236-8}}.
* {{citation | first1=Peter J. | last1=Olver | year=1999 | title=Classical Invariant Theory | publisher=Cambridge University Press | isbn=0521558212}}.

== 外部链接 == 
* {{MathWorld |title=Pochhammer Symbol |urlname=PochhammerSymbol}}
* [https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations, Elementary Proofs] {{Wayback|url=https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations, |date=20160214031616 }}

{{DEFAULTSORT:Pochhammer Symbol}}
[[Category:伽玛及相关函数]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:有限差分]]
[[Category:数字运算]]