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'''達西–威斯巴哈方程式'''（{{lang-en|Darcy–Weisbach equation}}）是[[流體力學]]中的[[唯象理論|唯象]]方程式，得名自物理學家[[亨利·達西]]和{{link-en|尤利烏斯·威斯巴哈|Julius Weisbach}}，此方程式描述固定長度管路內因[[摩擦力]]產生的[[扬程]]損失（或稱為[[压强]]損失）和管路中的平均流速的關係。

達西–威斯巴哈方程式中包括一個[[無因次]]的摩擦因子，名為'''達西–威斯巴哈摩擦因子'''或'''達西摩擦因子'''，此摩擦因子是[[范甯摩擦係數]]的四倍<ref>{{citation| title=Oilfield Processing of Petroleum. Vol. 1: Natural Gas | first1=Francis S. | last1=Manning | first2=Richard E. | last2=Thompson | publisher=PennWell Books | year=1991 | isbn=0-87814-343-2| postscript=<!--none--> }}, 420 pages. See page 293.</ref>。

== 壓力損失方程 ==
在均勻直徑{{mvar|D}}的圓管，流體完全填滿圓管，因為粘滯效應造成的壓力損失{{math|Δ''p''}}和其圓管長度{{mvar|L}}成正比，可以用達西–威斯巴哈方程式來描述<ref name="Brown">{{cite book |last1=Howell |first1=Glen |date=1970-02-01 |title=Aerospace Fluid Component Designers' Handbook |volume=I |url=https://apps.dtic.mil/sti/citations/AD0874542 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201020012129/https://apps.dtic.mil/sti/citations/AD0874542 |url-status=live |archive-date=October 20, 2020 |via=Defense Technical Information Center|publisher=TRW Systems Group |location=Redondo Beach CA |section=3.9.2 |at=p.&nbsp;87, equation 3.9.2.1e}}</ref>：
:<math>\frac{\Delta p}{L} =f_\mathrm{D} \cdot \frac{\rho }{2} \cdot \frac{{\langle v \rangle}^2}{D_H},</math>
其中單位長度的壓力損失{{math|{{sfrac|Δ''p''|''L''}}}}（SI制單位：[[帕斯卡|Pa]]/[[米 (单位)|m]]）是以下參數的函數： 
: <math>\rho</math>，流體密度（kg/m<sup>3</sup>）
: <math>D_H</math>，管子的[[水力直径]]（若是圓管，水力直徑等於{{math|''D''}}，否則{{math|1=''D''<sub>''H''</sub>'' = 4A/P''}}，{{mvar|A}}是管子的浸潤橫截面積，{{mvar|P}})是管子的浸潤周長，m）
: <math>\langle v \rangle</math>，平均[[流速]]，可以表示為單位截面浸潤面積下的[[體積流率]] {{mvar|Q}}（m/s）
: <math>f_\mathrm{D}</math>，是達西摩擦因子（也稱是flow coefficient {{mvar|λ}}<ref name=Rouse1946>{{cite book | first=H. | last=Rouse | title=Elementary Mechanics of Fluids | url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.140493 | publisher=John Wiley & Sons | year=1946}}</ref><ref name=Incopera2002>{{cite book |last1=Incopera|first1=Frank P. |last2=Dewitt|first2=David P. |title=Fundamentals of Heat and Mass Transfer |date=2002 |publisher=John Wiley & Sons |page=470 paragraph 3 |edition=5th}}</ref>），可以在[[穆迪圖]]中找到，此因子並非[[范宁摩擦因子]]f。
針對直流為{{math|<math>D_c</math>}}圓管下的[[层流]]，摩擦因子和[[雷诺数]]成反比（{{math|''f''<sub>D</sub>&nbsp;{{=}}&nbsp;{{sfrac|64|Re}}}}），此時的因子可以用容易量測或是已發表的物理量描述。將上式代入達西–威斯巴哈方程式，可將方程式改寫為
:<math>\frac{\Delta p}{L} = \frac{128}{\pi} \cdot \frac{\mu Q}{D_c^4},</math>
其中
: {{math|''μ''}}是[[流体]]的[[黏度]]（Pa·s = N·s/m<sup>2</sup> = kg/(m·s)）
: {{math|''Q''}}是[[體積流率]]，此處用體積流率代替平均流速，因為{{math|''Q'' {{=}} {{sfrac|π|4}}''D''<sub>c</sub><sup>2</sup><''v''>}}（m<sup>3</sup>/s）。

層流時的公式和[[泊肃叶定律]]等效，可以由[[纳维-斯托克斯方程]]推導。

== 揚程損失公式 ==
[[揚程損失]]  {{math|Δ''h''}}（或{{math|''h''<sub>f</sub>}}）表示因為摩擦力產生的壓力損失，以工作流體的液柱高度表示，因此壓力損失為

:<math>\Delta p = \rho g \, \Delta h,</math>

其中

: {{math|Δ''h''}}是特定長度，此長度管壁摩擦產生的揚程損失（SI制單位：m）<!--);{{efn|This is related to the [[Hydraulic head|piezometric head]] along the pipe.}}[-->
: {{mvar|g}}是[[重力加速度]]（m/s<sup>2</sup>）。

可以將損程表示為單位管長下的量，會是無因次量：

:<math>S = \frac{\Delta h}{L} = \frac{1}{\rho g} \cdot \frac{\Delta p}{L},</math>

其中{{mvar|L}}是管長（m）。

因此達西–威斯巴哈方程式也可以用揚程損失來表示<ref name="Crowe2005">{{cite book |last1=Crowe|first1=Clayton T. |last2=Elger|first2=Donald F. |last3=Robertson|first3=John A. |title=Engineering Fluid Mechanics |date=2005 |publisher=John Wiley & Sons |edition=8th |at=p. 379; Eq. 10:23, 10:24, paragraph 4}}

:<math>\frac{1}{\sqrt{f_\mathrm{D}}} = 2 \log\left(\mathrm{Re} \sqrt{f_\mathrm{D}}\right) - 0.8 \quad \text{for } \mathrm{Re} > 3000.</math></ref>：

:<math>S  = f_\text{D} \cdot \frac{1}{2g} \cdot \frac{{\langle v \rangle}^2}{D}.</math>

=== 以體積流率表示 ===
平均流體速度{{math|<''v''>}}和體積流率{{mvar|Q}}的關係是

:<math>Q = A \cdot \langle v \rangle,</math>

其中
: {{mvar|Q}} 是體積流率（m<sup>3</sup>/s）
: {{mvar|A}} 是濕潤截面積（m<sup>2</sup>）

針對截面完全被流體填滿，直徑為{{mvar|<math>D_c</math>}}的圓管，

:<math> Q = \frac{\pi}{4} D_c^2 \langle v \rangle.</math>

因此以{{mvar|Q}}表示的達西–威斯巴哈方程式為

:<math>S = f_\text{D} \cdot \frac{8}{\pi^{2} g} \cdot \frac{Q^2}{D_c^5}.</math>

==達西摩擦因子==
{{see also|{{link-en|達西摩擦因子公式|Darcy friction factor formulae}}}}
流体流经一定管径的直管时，由于流体内摩擦力而产生的阻力，阻力的大小与路程长度成正比。沿程阻力（直管阻力）损失的计算式中 λ——摩擦系数，与雷诺数Re和管壁粗糙度ε有关，可实验测定，也可计算得出。

层流时：

:λ=64/Re

对于紊流流动，工程上通过以下两种途径确定：一种是以紊流的半经验理论为基础，结合实验结果，整理成阻力系数的半经验公式，比如穆迪图；另一种是直接根据实验结果，综合成阻力系数的经验公式。前者具有更为普遍的意义。

==相關條目==
*[[泊肅葉定律]]
*[[水管]]
*[[范甯摩擦係數]]
==參考資料==
{{reflist}}

{{水力學}}

[[Category:流体力学中的方程]]
[[Category:水利工程]]
[[Category:流體力學中的無因次量]]