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{{noteTA
|G1=物理學
}}
在[[經典力學]]裏，對於一個[[動力系統]]，隨著時間的演進，所有保持不變的[[物理量]]都稱為'''運動常數'''（{{lang|en|constant of motion}}），又稱為[[守恆量]]。<ref>{{cite book
  | last = Morin
  | first =David
  | title = Introduction to classical mechanics: with problems and solutions
  | url = https://archive.org/details/introductiontocl00mori_611
  | publisher = Cambridge University Press
  | year = 2008
  | pages = [https://archive.org/details/introductiontocl00mori_611/page/n157 138]
  | isbn = 9780521876223}}</ref>它的作用有點類似運動的[[約束]]。可是，運動常數是數學的約束，自然地從[[運動方程式]]中顯現出來，而不是物理的[[約束]]；物理的約束會有相應的[[約束力]]來維持這約束。常見的運動常數例子有[[能量守恆定律|能量]]、[[動量守恆定律|動量]]、[[角動量守恆定律|角動量]]、[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]。

==應用==
運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的[[角動量]][[向量]]是恆定的，則此物體的[[軌跡]]（{{lang|en|Trajectory}}）必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動[[軌跡]]都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的[[等值曲面]]之[[交集|相交線]]。舉例而言，從[[潘索橢圓球]]（{{lang|en|Poinsot's ellipsoid}}）可以觀察出，一個淨[[力矩]]等於零的[[剛體]]的[[旋轉]]，其[[角速度]]軌跡是一個圓球（[[角動量守恆]]）與一個橢圓球（[[能量守恆]]）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。

==辨認運動常數的方法==
辨認運動常數的方法有好幾種：

*最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，可以論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。

*[[哈密頓-亞可比方程式]]給予一個常用與直接的方法來認明運動常數，特別是當採用[[正交坐標]]的[[哈密頓量]]，呈現出可辨認的函數形式。

*另外一種方法應用下述事實：每一個守恆量的量值都相應於一個[[拉格朗日量]]的[[對稱性]]。[[諾特定理]]給予一個有系統的方法，從[[對稱性]]導引出守恆量。例如，[[拉格朗日量]]對於{{link-en|時間演化|time evolution}}的[[不變性]]，造成了[[能量守恆]]；[[拉格朗日量]]對於[[空間]]平移的不變性（平移對稱性），造成了[[動量守恆]]；[[拉格朗日量]]對於[[空間]]轉動的不變性，造成了[[角動量守恆]]。反過來說也是正確的；每一個[[拉格朗日量]]的對稱性相應於一個運動常數

*假若一個[[物理量]]<math>A</math>，既不是顯性地含時間，又與[[哈密頓量]]的[[帕松括號]]等於零，則此物理量是保守的：

::<math>\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+[A,\ H]</math>。

另外一個很有用的理論，'''帕松定理'''闡明：假若<math>A</math>與<math>B</math>都是運動常數，則它們的[[帕松括號]]<math>[A,\ B]</math>也是運動常數。

一個物理系統，假若擁有<math>n</math>個[[自由度]]，<math>n</math>個運動常數，其任何一對運動常數的[[帕松括號]]等於零，則稱此系統為[[完全可積分系統]]（{{lang|en|completely integrable system}}）。稱這一集合的運動常數互相[[對合]]。

==量子力學==
假若，一個[[可觀測量]]<math>Q</math>與[[哈密頓量]]<math>H</math>是[[交換子|可交換的]]，而且不顯性地含時間，則此可觀測量是個運動常數。

===導引===
假設，一個可觀測量<math>Q= Q(x,p,t)</math>跟位置<math>x</math>、動量<math>p</math>、時間<math>t</math>有關。再假設一個[[波函數]]<math>\psi</math>遵守[[薛丁格方程式]]<math>i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi</math>。求<math>Q</math>期望值對於時間<math>t</math>的導數，
:{|
|<math>\frac{d}{dt} \langle Q \rangle</math>
|<math> = \frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle</math>
|-
|
|<math> = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | Q | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \left\langle \psi | Q | \frac{\partial \psi}{\partial t} \right\rangle</math>
|-
|
|<math> = \frac{-1}{i\hbar} \langle H \psi | Q | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | Q | H \psi \rangle</math>
|-
|
|<math> = \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi | HQ | \psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi | QH | \psi \rangle</math>
|-
|
|<math>= \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi|\left[H,Q\right]|\psi \rangle + \left\langle \psi | \frac{\partial Q}{\partial t} | \psi \right\rangle</math><span style="vertical-align:bottom">；</span>
|}

其中，<math>[H,Q] = HQ - QH </math>是[[交換子]]。

假若，<math>Q</math>與[[哈密頓量]]<math>H</math>是[[交換子|可交換的]]，而且不顯性地含時間，則
:<math>\frac{d}{dt} \langle Q \rangle=0</math>。

所以，<math>Q</math>是運動常數。

==參閱==
*[[守恆定律]]
*[[正則變換]]
*[[哈密頓力學]]
*[[拉格朗日力學]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}
*{{cite book en| author=Griffiths, David J. |  title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall | year=2004 | id=ISBN 0-13-805326-X}}

[[Category:力學|Y]]
[[Category:經典力學|Y]]
[[Category:哈密頓力學|Y]]
[[Category:运动学|Y]]