查看“︁逻辑异或”︁的源代码

{{多個問題|
{{unreferenced|time=2018-12-05T15:18:09+00:00}}
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[[File:Venn0110.svg|thumb| {{Smallmath|f= p \oplus q}} 的[[文氏图]] ]]

在-{zh-hant:數位;zh-hans:数字}-[[逻辑]]中，[[逻辑运算符|逻辑算符]]'''互斥或'''（{{lang-en|Exclusive or}}）是对两个[[运算元]]的一种[[逻辑或|邏輯分析]]类型。与一般的[[邏輯或]]不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。<ref name="wolfram">{{cite web|last1=Germundsson|first1=Roger|last2=Weisstein|first2=Eric|title=XOR|url=http://mathworld.wolfram.com/XOR.html|access-date=17 June 2015|website=[[MathWorld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|archive-date=2015-09-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20150905155452/http://mathworld.wolfram.com/XOR.html|dead-url=no}}</ref>

对于[[命题]] <math>p, q</math>，<math>p</math>异或<math>q</math>通常记作<math>p \operatorname{XOR} q</math>或<math>p \oplus q</math>。在编程语言中，常写作<code>p ^ q</code>。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的[[逻辑非]]是[[逻辑等价]]。

== 真值表 ==
异或运算<math>p \oplus q</math>的[[真值表]]如下：
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
! <math>p</math> !! <math>q</math> !! <math>p \oplus q</math>
|-
| True || True || False
|-
| True || False || True
|-
| False || True || True
|-
| False || False || False
|-
|colspan="3" | 注：True：真，False：假。
|}

无论怎样改变同一行中<math>p, q, p \oplus q</math>的位置，真值表都是成立的。

== 其他表示 ==

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符[[逻辑与]]<math>\land</math>，[[逻辑或]]<math>\lor</math>和[[逻辑非]]<math>\lnot</math>表示为：
: <math>
\begin{align}
p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\
           & = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\
           & = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq})
\end{align}
</math>

另外，异或算符可以被推广，得到关于''n''个运算元的异或运算：''n''个运算元的''n''维异或的值为真[[当且仅当]]其中值为真的运算元有[[奇数]]个。

异或也可以被表示为：
: <math>p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))</math>

异或还可以看作是[[逻辑等价]]关系的非运算。

== 性质 ==
'''[[交换律]]'''：<math>p \oplus q = q \oplus p</math>

'''[[结合律]]'''：<math>p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r</math>

'''恒等律'''：<math>p \oplus 0 = p</math>

'''归零律'''：<math>p \oplus p = 0</math>

'''[[对合|对合运算]]'''：<math>p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p</math>

== 与抽象代數的關係 ==

尽管[[算子]]<math>\wedge</math>（[[逻辑合取]]）与<math>\lor</math>（[[逻辑析取]]）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统<math>(\{T, F\}, \wedge)</math> and <math>(\{T, F\}, \lor)</math>只是[[幺半群]]。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如[[环 (代数)|环]]或[[半环]]。

但是，带有逻辑异或的系统<math>(\{T, F\}, \oplus)</math>是一个[[阿贝尔群|交换群]]。因此，算子<math>\wedge</math>与<math>\oplus</math>的结合在集合<math>\{T, F\}</math>上作用就产生了最基本的二元[[体 (数学)|域]]<math>F_2</math>。这个域可以得出所有运用<math>(\land, \lor)</math>可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

== 類似符號 ==
{| class="wikitable"
|- 
!名稱!!符號!!Unicode!!圖形!!符號的來源
|- 
|[[地球]]||<big><big>🜨</big></big>||U+2295||[[File:Earth symbol.svg|20px|地球的天文符號]]
| 带有[[赤道]]和一條[[經線]]的球體
|}

== 應用 ==
=== 使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值 ===

<big>''' C/C++ '''</big>
<syntaxhighlight lang="c">
void swap(int *a, int *b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;
}
</syntaxhighlight>
<big>''' Java '''</big>
<syntaxhighlight lang="java">
public void swap(int a, int b) {
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}
</syntaxhighlight>
<big>''' C# '''</big>
<syntaxhighlight lang="C#">
public void swap(ref int a,ref int b)
{
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}
</syntaxhighlight>
<big>''' Rust '''</big>
<syntaxhighlight lang="Rust">
fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
    *num_a ^= *num_b;
    *num_b ^= *num_a;
    *num_a ^= *num_b;
}
</syntaxhighlight>
雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

== 参考来源 ==
{{reflist}}

== 参见 ==
* [[异或门]]
* [[异或密码]]

{{逻辑联结词}}
[[Category:布尔代数]]
[[Category:二元运算]]
[[Category:邏輯聯結詞]]