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{{noteTA|G1=物理学}}
在物理學裏，'''連續性方程式'''（{{lang-en|continuity equation}}）是描述[[守恆量]]傳輸行為的[[偏微分方程式]]。在適當條件下，[[質量]]、[[能量]]、[[動量]]、[[電荷]]等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的[[守恆定律]]方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用[[通量]]積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用[[散度]]算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过[[散度定理]]相互关联。

==概論==
===微分形式===
一般的連續性方程式的微分形式為
:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = s</math> ；

其中，<math>\varphi</math> 是某物理量 <math>q</math> 的密度（每單位體積的物理量），<math>\mathbf{f}</math> 是 <math>q</math> 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（{{lang|en|vector function}}），<math>s</math> 是 <math>q</math> 在每單位體積每單位時間的生成量。

假若 <math>s>0</math> 則稱 <math>s</math> 為「源點」；假若 <math>s<0</math> 則稱 <math>s</math> 為「匯點」。假設 <math>\varphi</math> 是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 <math>s=0</math> ，連續性方程式變為
:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = 0</math> 。

從簡單的「[[能量]]連續性方程式」到複雜的[[納維-斯托克斯方程式]]，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是[[平流方程式]]（{{lang|en|advection equation}}）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如[[電場]]的[[高斯定律]]或[[引力场]]的[[高斯重力定律]]。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 <math>\mathbf{f}</math> 並不代表真實物理量的流動。

===積分形式===
[[File:SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg|right|thumb|200px|在連續性方程式的積分形式裏，<math>\mathbb{S}</math> 是包住體積 <math>\mathbb{V}</math> 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面（以藍色顯示），<math>\mathbb{S}</math> 沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。]]
根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

:<math> \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = S</math> ；

其中，<math>\mathbb{S}</math> 是包住體積 <math>\mathbb{V}</math> 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面，<math>Q</math> 是在體積 <math>\mathbb{V}</math> 內的 <math>q</math> 總量，<math>S=\int_{\mathbb{V}}s\ \mathrm{d}^3r</math> 是在積分體積 <math>\mathbb{V}</math> 內源點與匯點的總生成量每單位時間，<math>\mathrm{d}\mathbf{a}</math> 是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 <math>\mathbb{V}</math> 是[[台北101大樓]]，<math>Q</math> 是在大樓內某時間的總人數，<math>\mathbb{S}</math> 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 <math>s>0</math> ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

== 電磁理論 ==
{{Main|電荷守恆}}
在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條[[經驗定律]]，表達局域電荷守恆，或是從[[馬克士威方程組]]推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，[[電荷密度]] <math>\rho</math> 的變率與[[電流密度]] <math>\mathbf{J}</math> 的散度，兩者的代數和等於零：
: <math>\frac{ \partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0</math> 。

=== 馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式 ===
[[馬克士威-安培方程式]]為
: <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \ \epsilon_0  \frac{ \partial E }{\partial t}</math> ；

其中，<math>\mathbf{B}</math> 是[[磁場]]，<math>\mathbf{E}</math> 是[[電場]]，<math>\mu_0</math> 是[[磁常數]]，<math>\epsilon_0</math> 是[[電常數]]。

取散度於方程式的兩邊，由於[[旋度]]的[[散度]]必是零，
: <math>0= \mu_0\nabla \cdot \mathbf{J} +\mu_0\epsilon_0 \frac{ \partial (\nabla \cdot\mathbf{E})}{\partial t}</math> 。

[[高斯定律]]的方程式為
:<math>\nabla \cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0</math> 。

將這方程式代入，可以得到
: <math>\frac{ \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}=0</math>。 

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

===四維電流===
[[四維電流密度]]定義為
: <math>J^{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\  (c \rho , \mathbf{J}) = (c \rho , J_x, J_y , J_z)</math> ；

其中，<math>\alpha</math> 標記[[時空]]坐標，<math>c</math> 是[[光速]]。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式
: <math>\partial_{\alpha} J^{\alpha}=0</math> ；

其中，<math>\partial_{\alpha}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{ \partial}{\partial r^0}, \frac{ \partial}{\partial r^1}, \frac{ \partial}{\partial r^2}, \frac{ \partial}{\partial r^3}\right)
= \left(\frac{ \partial}{c\partial t},\frac{ \partial}{\partial x},\frac{ \partial}{\partial y},\frac{ \partial}{\partial z}\right)</math> 。

==流體力學==
在[[流體力學]]裏，連續性方程式表明，在任何[[穩定態]]過程中，[[質量]]進入物理系統的速率等於離開的速率。<ref name=Pedlosky>{{Cite book
| publisher = Springer
| isbn = 9780387963877
| last = Pedlosky
| first = Joseph
| title = Geophysical fluid dynamics
| url = https://archive.org/details/geophysicalfluid00pedl
| year = 1987
| pages = [https://archive.org/details/geophysicalfluid00pedl/page/n19 10]–13
}}</ref><ref>Clancy, L.J.(1975), ''Aerodynamics'', Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London</ref>。此时連續性方程式与[[電路學]]的[[克希荷夫電流定律]]类似。「質量連續性方程式」的微分形式為<ref name=Pedlosky/>
: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0</math>；

其中，<math> \rho </math> 是流體質量密度，<math> \mathbf{u}</math> 是流速向量場，兩者相乘後為[[质量通量]]。

假設流體是[[不可壓縮流]]，則密度 <math> \rho </math> 是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：<ref name=Pedlosky/>
:<math>\nabla \cdot (\mathbf{u}) = 0</math> 。

這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，[[納維-斯托克斯方程式]]是一個向量連續性方程式，描述[[動量守恆]]。

==能量==
根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在[[熱力學定律]]（{{lang|en|Laws of thermodynamics}}）外，能量守恆的另一种數學表述，即，
:<math>\frac{ \partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{q}= 0</math> ；

其中，<math>u</math> 是能量密度（單位體積的能量），<math>q</math> 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。

根據[[傅立葉定律]]（{{lang|en|Fourier's law}}），對於均勻傳導介質，
:<math> \mathbf{q} = -k \nabla T </math> ；

其中，<math>k</math> 是[[熱導率]]，<math>T</math> 是[[溫度]]函數。

能量連續性方程式又可寫為[[热传导方程]]，
:<math> \frac{ \partial u}{\partial t} - k\nabla^2T= 0</math> 。

==量子力學==<!--link 機率流-->
{{main|機率流}}
在[[量子力學]]裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為 <math>\Psi(x,t)</math> ，機率流 <math>\mathbf{J}</math>的定義為
:<math>\mathbf{J}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi)</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>m</math> 是質量，<math> \Psi^*</math> 是 <math> \Psi</math> 是[[共軛複數]]，<math> \mbox{Im}()</math> 是取括弧內項目的[[虚部]]。

===連續方程式與機率守恒定律===
機率流滿足量子力學的[[連續方程式]]：
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0</math> ；

其中，<math>\rho = |\Psi|^2</math> 是機率密度。

應用[[高斯公式]]，可以等價地以積分方程式表示，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \mathrm{d}^3{r} + \oint_\mathbb{S}\mathbf{J}\cdot {\mathrm{d}\mathbf{a}} = 0</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\mathbb{V}</math> 是任意三維區域，<math>\mathbb{S}</math> 是 <math>\mathbb{V}</math> 的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率。第二個[[曲面積分]]是機率流出 <math>\mathbb{V}</math> 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 <math>\mathbb{V}</math> 的通量，兩者之和等於零。

===連續方程式推导===
測得粒子在三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 內的機率 <math>P</math> 是
:<math>P= \int_\mathbb{V} \rho\,\mathrm{d}^3\mathbf{r} = \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3\mathbf{r}</math> 。

機率對於時間的導數是
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V} |\Psi|^2 \,\mathrm{d}^3{r} = \int_\mathbb{V} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}^3{r}</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

注意到 <math>\Psi</math> 的[[含時薛丁格方程式]]為
:<math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi</math> ；

其中，<math>U(\mathbf{r})</math> 是[[位勢]]。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right)\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

應用一則[[向量恆等式]]，可以得到
:<math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\Psi^*\boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right) = \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \boldsymbol{\nabla} \Psi \cdot \boldsymbol{\nabla} \Psi^* - \Psi \nabla^2 \Psi^*</math> 。

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，
:<math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = - \int_\mathbb{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol{\nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{\nabla} \Psi^* \right)\right]\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，
:<math>\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}^3{r}= - \int_\mathbb{V} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^3{r}</math> 。

该等式對於任意三維區域 <math>\mathbb{V}</math> 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0</math> 。

==參閱==
* [[欧拉方程 (流体动力学)|歐拉方程式]]
* [[諾特定理]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}

[[Category:偏微分方程|L]]
[[Category:電學|L]]
[[Category:守恒定律|L]]
[[Category:流体力学中的方程|L]]