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{{about|一种微分代数方程|科学机器学习领域的通用微分方程|神经微分方程}}
'''通用微分方程'''是一種非[[平凡 (數學)|平凡]]的{{le|微分代數方程|differential algebraic equation}}，其解可以在實數線上的任何區域[[逼近理论|逼近]]任何[[連續函數 (拓撲學)|連續函數]]，可以到任意的精準度。此概念是由美國數學家{{le|李·艾伯特·鲁貝爾|Lee Albert Rubel}}在1981年提出。

若要精確表示，微分方程<math>P(y', y'', y''', ..., y^{(n)}) = 0</math>是通用微分方程，若針對任意連續實值函數<math>f</math>以及任意正值連續函數<math> \varepsilon </math>，存在<math>P(y', y'', y''', ..., y^{(n)}) = 0</math>的[[光滑函数|光滑]]解<math> y</math>，使得針對所有<math> x \in \R </math>，<math> |y(x) - f(x)| < \varepsilon (x) </math>都成立<ref name=":0">{{Cite journal |last=Rubel |first=Lee A. |date=1981 |title=A universal differential equation |url=https://www.ams.org/bull/1981-04-03/S0273-0979-1981-14910-7/ |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |language=en |volume=4 |issue=3 |pages=345–349 |doi=10.1090/S0273-0979-1981-14910-7 |issn=0273-0979|doi-access=free }}</ref>。

通用微分方程的存在一開始視為是類似類比電腦的[[通用圖靈機]]，因為香農識別到{{link-en|通用類比電腦|general purpose analog computer}}的結果和代數微分方程的解相同<ref name=":0" />。不過通用微分方程和通用圖靈機不同，通用微分方程無法分析系統的演進，只能舉出系統演進需要滿足的條件<ref name=":1">{{Cite journal |last1=Pouly |first1=Amaury |last2=Bournez |first2=Olivier |date=2020-02-28 |title=A Universal Ordinary Differential Equation |url=https://lmcs.episciences.org/6168/pdf |journal=Logical Methods in Computer Science |volume=16| issue = 1 |arxiv=1702.08328 |doi=10.23638/LMCS-16(1:28)2020|s2cid=4736209 }}</ref>。

==範例==
* Rubel在1981年發現第一個通用微分方程，是四階的隱式微分方程<ref name=":0" /><ref name=":1" />： <math>3 y^{\prime 4} y^{\prime \prime} y^{\prime \prime \prime \prime 2}-4 y^{\prime 4} y^{\prime \prime \prime 2} y^{\prime \prime \prime \prime}+6 y^{\prime 3} y^{\prime \prime 2} y^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime \prime}+24 y^{\prime 2} y^{\prime \prime 4} y^{\prime \prime \prime \prime}-12 y^{\prime 3} y^{\prime \prime} y^{\prime \prime \prime 3}-29 y^{\prime 2} y^{\prime \prime 3} y^{\prime \prime \prime 2}+12 y^{\prime \prime 7}=0</math>
* Duffin發現了一組通用微分方程<ref>{{Cite journal |last=Duffin |first=R. J. |date=1981 |title=Rubel's universal differential equation |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=78 |issue=8 |pages=4661–4662 |doi=10.1073/pnas.78.8.4661 |pmid=16593068 |pmc=320216 |bibcode=1981PNAS...78.4661D |issn=0027-8424|doi-access=free}}</ref>：
:<math>n^2 y^{\prime \prime \prime \prime} y^{\prime 2}+3 n(1-n) y^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime} y^{\prime}+\left(2 n^2-3 n+1\right) y^{\prime \prime 3}=0</math>和<math>n y^{\prime \prime \prime \prime} y^{\prime 2}+(2-3 n) y^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime} y^{\prime}+2(n-1) y^{\prime \prime 3}=0</math>，其解是class '''''<math>C^n</math>'''''，''n'' > 3。

* Briggs提出了另外一組通用微分方程，是建構在[[雅可比橢圓函數]]上的<ref>{{cite arXiv |last=Briggs |first=Keith |date=2002-11-08 |title=Another universal differential equation |eprint=math/0211142}}</ref>：
:<math>y^{\prime \prime \prime \prime} y^{\prime 2}-3 y^{\prime \prime \prime \prime} y^{\prime \prime} y^{\prime}+2\left(1-n^{-2}\right) y^{\prime \prime 3}=0</math>，其中''n'' > 3。

==參考資料==
{{reflist}}
== 外部連結 ==
*[http://mathworld.wolfram.com/UniversalDifferentialEquation.html Wolfram Mathworld page on UDEs] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/UniversalDifferentialEquation.html |date=20210113184534 }}

[[Category:微分方程]]
[[Category:逼近理论]]