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'''逐點收歛'''也稱'''點態收斂'''（{{Lang-en|pointwise convergence}}，或称简单收敛），是數學中描述一組[[函数]]序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。詳細點講，如果这組函数列在定義域中每点的取值都會趋于一个[[极限|极限值]]，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趋近的这个極限函数称作這個函数序列的'''逐点极限'''。在各种收敛中，逐点收敛較容易了解跟想象，但未必能很好地保持函数的一些重要性质，比如说[[连续]]性等等。

==定义==
设 <math>\{f_n\}</math> 是一組有相同定义域的函数序列。序列 <math>\{f_n\}</math> 逐点收敛当且仅当存在函数 <math>f</math>，使得在定义域中的每點 <math>x</math>，都有：
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)</math>

这时我们就说序列 <math>\{f_n\}</math> 逐点收敛到 <math>f</math>，或說函數 <math>f</math> 是序列 <math>f_n</math> 的逐點極限函數。在英文中也寫作：

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\  \mbox{ pointwise},</math>

==性质==

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是'''[[一致收敛]]'''（{{lang-en|uniform convergence}}）。一致收歛的定义如下：
假設序列 <math>(f_n)</math> 中的函數跟函數 <math>f</math> 都有相同的定義域 <math>I</math>。定義函數序列 <math>(f_n)</math> 一致收敛到 <math>f</math>，若數列 
<math>a_n=\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \,\}</math> 
趨近於零，用符號表示就是：<math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>，換句話講也就是：
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \;\}=0</math>
兩相比較，一致收敛對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 <math>f_n:[0,1]\rightarrow[0,1]</math>，讓  <math>f_n(x) = x^n</math>，則 <math>(f_n)</math> 逐点收敛到（不連續）函数 
:<math>f(x) =
    \begin{cases}
      0 &  x\in [0,1)  \\
      1 &  x=1   
      \end{cases}</math>,
但并不一致收敛到該函數，因為對每個 <math>n</math>，<math>\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in [0,1] \,\}</math> 皆為 1，所以

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in [0,1] \,\}=1\neq 0</math>。

這說明了序列 <math>(f_n)</math> 並不一致收歛。
一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 <math>(f_n(x) = x^n) </math> 都在闭区间 <math>[0,1]</math> 上连续，但是 <math>(f_n)</math> 逐点收敛到的函数 <math>f</math> 並不是连续函数。

逐點收歛不要求序列 <math>(f_n)</math> 中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的[[拓扑空间]]。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函數序列 <math>(f_n)</math> 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在[[度量空间]]。因为一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了[[距离]]的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

==拓扑性质==
逐点收敛也可以理解为由[[范数|半范数]]<math>||f||_x=|f(x)|\,</math>建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做'''逐点收敛空间'''。这个拓扑与[[乘积拓扑]]是等价的。如果<math>f</math>的[[定义域]]和[[值域]]都是[[紧集|紧致的]]，根据[[吉洪诺夫定理]]，这个空间也是紧致的。

==测度论==
在[[测度|测度理论]]中，对一个[[可测空间]]上的[[可测函数]]有'''几乎处处收敛'''的概念，也就是说[[几乎处处]]逐点收敛。[[叶戈罗夫定理]]说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

==参见==
* [[一致收敛]]
* [[拓扑空间]]

{{DEFAULTSORT:Z}}
[[Category:收敛 (数学)]]
[[Category:测度论]]
[[Category:拓扑空间]]
[[Category:函数空间的拓扑]]