查看“︁逆威沙特分佈”︁的源代码

{{NoteTa
|G1=数学
|1=zh-hans:威沙特;zh-hant:威沙特;
|d1=Wishart；防止「沙-{}-特-沙-{烏}-地」（Saudi）過度轉換
}}
{{機率分佈
|name       =逆威沙特分布
|type       =密度 | pdf_image = | cdf_image = 
|parameters =<math>  m > p-1\!</math> 自由度 ([[實數]])<br /><math>\mathbf{\Psi} > 0\,</math> 尺度矩陣 ([[正定矩陣|正定]])
|support    =<math>\mathbf{W}\!</math>是正定的
|pdf        =<math>\frac{\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm{trace}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2} }{2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)}</math>
|cdf        =
|mean       =<math>\frac{\mathbf{\Psi}}{m - p - 1}</math>
|median     =
|mode       =<math>\frac{\mathbf{\Psi}}{m + p + 1}</math><ref name="Ohagan">{{Cite book
 | author = A. O'Hagan, and J. J. Forster 
 | title = Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference
 | volume = 2B
 | edition = 2
 | publisher = Arnold
 | year = 2004
 | isbn = 0-340-80752-0
  }}</ref>{{rp|406}}
|variance   =
|skewness   =  | entropy = 
|kurtosis   =
|mgf        = | char = }}

'''逆威沙特分布'''，也叫'''反威沙特分布'''作是[[统计学]]中出现的一类[[概率分布函数]]，定义在[[实数|实值]]的[[正定矩阵]]上。在[[贝叶斯统计]]中，逆威沙特分布會用作[[多变量正态分布]]协方差矩阵的[[共轭先验]]分布。
如果一个正定矩阵 <math>{\mathbf B}</math> 的[[逆矩阵]] <math> \mathbf{B}^{-1}</math> 遵从[[威沙特分布]] <math> W({\mathbf \Psi}^{-1}, m) </math> 的话，那么就说矩阵 <math>{\mathbf B}</math> 遵从逆威沙特分布：
:<math> \mathbf{B}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},m)</math>

==概率密度函数==

逆威沙特分布的[[概率密度函数]]是：
:<math>
\frac{
\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|\mathbf{B}\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm{trace}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2}
}{
2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)},
</math>

其中 <math>{\mathbf B}</math> 和 <math>{\mathbf\Psi}</math> 都是 <math>p\times p</math> 的[[正定矩阵]]，而&Gamma;<sub>''p''</sub>(&middot;) 则是{{le|多变量伽马分布|Multivariate gamma function}}。函数

:<math>\mathrm{trace} \; : \quad \mathbf{M} \quad \rightarrow \quad \mathrm{trace}(\mathbf{M}) </math>

指的是[[迹]]函数。

==相关定理==
===威沙特分布矩阵之逆的概率分布===

设矩阵<math>{\mathbf A}\sim W({\mathbf\Sigma},m)</math> 并且 <math>{\mathbf\Sigma}</math> 是<math>p \times p</math> 的矩阵，那么 <math>{\mathbf B}={\mathbf A}^{-1}</math> 遵从逆威沙特分布：<math>{\mathbf B}\sim W^{-1}({\mathbf\Sigma}^{-1},m)</math>。它的概率密度函数是：
:<math>
p(\mathbf{B}|\mathbf{\Psi},m) = 
\frac{
\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|\mathbf{B}\right|^{-(m+p+1)/2}\exp\left({-\mathrm{tr}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2}\right)
}{
2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)}
</math>
其中 <math>\mathbf{\Psi} = \mathbf{\Sigma}^{-1}</math>，而 <math>\Gamma_p(\cdot)</math> 是多变量伽马分布<ref name="MardiaK1979Multivariate">{{Cite book
 | author = Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby 
 | title = Multivariate Analysis
 | url = https://archive.org/details/multivariateanal0000mard
 | publisher = Academic Press
 | year = 1979
 | isbn = 0-12-471250-9
}}</ref>。

===威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布===

设矩阵 <math>{\mathbf A}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},m)</math> 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 <math> {\mathbf A} </math> 和 <math> {\mathbf\Psi} </math> 都有相适合的分块矩阵表示方式： 
:<math>
    {\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{bmatrix}, \;
    {\mathbf{\Psi}} = \begin{bmatrix} \mathbf{\Psi}_{11} & \mathbf{\Psi}_{12} \\ \mathbf{\Psi}_{21} & \mathbf{\Psi}_{22} \end{bmatrix}
</math> 
其中子矩阵 <math>{\mathbf A_{ij}}</math> 和 <math>{\mathbf \Psi_{ij}} </math> 是 <math> p_{i}\times p_{j}</math> 的矩阵，那么会有：

甲）<math> {\mathbf A_{11} } </math> 和 <math> {\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12} </math> 与 <math> {\mathbf A}_{22\cdot 1} </math> 相互独立，其中 <math>{\mathbf A_{22\cdot 1}} = {\mathbf A}_{22} - {\mathbf A}_{21}{\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12}</math> 是子矩阵 <math> {\mathbf A_{11} } </math> 在 <math> {\mathbf A} </math> 中的[[舒尔补]]。

乙） <math> {\mathbf A_{11} } \sim W^{-1}({\mathbf \Psi_{11} }, m-p_{2}) </math>; 

丙） <math> {\mathbf A}_{11}^{-1} {\mathbf A}_{12}| {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim MN_{p_{1}\times p_{2}}
( {\mathbf \Psi}_{11}^{-1} {\mathbf \Psi}_{12},  {\mathbf A}_{22\cdot 1} \otimes  {\mathbf \Psi}_{11}^{-1}) </math>，其中 <math> MN_{p\times q}(\cdot,\cdot) </math> 是[[矩阵正态分布]]。

丁）<math> {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim  W^{-1}({\mathbf \Psi}_{22\cdot 1}, m) </math>

===共轭分布===
假设要求[[先验分布]] <math>{p(\mathbf{\Sigma})}</math> 为逆威沙特分布 <math>W^{-1}({\mathbf\Psi},m)</math> 的协方差矩阵<math>{\mathbf{\Sigma}}</math>。如果观测值
<math>\mathbf{X}=[\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n]</math> 是从互相独立的 p-变量正态分布 <math>N(\mathbf{0},{\mathbf \Sigma})</math>  的随机变量得到的，那么条件分布 
<math>{p(\mathbf{\Sigma}|\mathbf{X})}</math> 遵从的是逆威沙特分布：<math>W^{-1}({\mathbf A}+{\mathbf\Psi},n+m)</math>。其中 <math>{\mathbf{A}}=\mathbf{X}\mathbf{X}^T</math> 是样本协方差矩阵的<math>n</math>倍。

因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

===矩相关特性===
期望值：<ref name="MardiaK1979Multivariate"/>{{rp|85}}
:<math>
E(\mathbf B) = \frac{\mathbf\Psi}{m-p-1}.</math>

矩阵 <math>\mathbf{B}</math> 的每一个系数的方差：
:<math>
\mbox{var}(b_{ij}) = \frac{(m-p+1)\psi_{ij}^2 + (m-p-1)\psi_{ii}\psi_{jj}}
{(m-p)(m-p-1)^2(m-p-3)}</math>
对角系数的方差是在上式中令 <math>i=j</math> 得到，化简后变成：
:<math>
\mbox{var}(b_{ii}) = \frac{2\psi_{ii}^2}{(m-p-1)^2(m-p-3)}.</math>

== 相关分布 ==
当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：{{le|逆伽马分布|Inverse-gamma distribution}}。也就是说，当 <math>p=1</math>、<math>\alpha = m/2</math>、<math>\beta = \mathbf{\Psi}/2</math> 以及 <math>x=\mathbf{B}</math> 的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：
: <math>p(x|\alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha\, x^{-\alpha-1} \exp(-\beta/x)}{\Gamma_1(\alpha)}.</math>


这正是逆伽马分布。其中 <math>\Gamma_1(\cdot)</math> 是通常的[[伽马函数]]。


而逆威沙特分布也有推广，其中一个是{{le|正态逆威沙特分布|Normal-inverse-Wishart distribution}}。

==参见==
*[[威沙特分布]]
*[[矩阵正态分布]]

== 参考来源 ==
{{Reflist}}

{{概率分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:多变量统计]]