查看“︁迹不等式”︁的源代码

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{{copyedit|time=2019-07-23T12:09:38+00:00}}
}}
在[[数学]]中，有很多关于[[希尔伯特空间]]上的[[矩阵]]和[[线性算子]]的[[不等式]]。而迹不等式就是与[[矩阵的迹]]有关的算子不等式。<ref name="C09">E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 {{Doi|10.1090/conm/529/10428}} </ref><ref>R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).</ref><ref name="B05">B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).</ref><ref>M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).</ref>

== 基本定义 ==
令'''H'''<sub>''n''</sub>表示''n''×''n''[[埃尔米特矩阵]]空间， '''H'''<sub>''n''</sub><sup>+</sup>表示全体''n''×''n''[[半正定矩阵|半正定埃尔米特矩阵]]，'''H'''<sub>''n''</sub><sup>++</sup>表示全体''n''×''n''[[正定矩阵|正定埃尔米特矩阵]]。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要[[迹类算子]]或[[埃尔米特算子]]，简单起见，此处我们只讨论[[矩阵]]。

对于任意实值函数 {{Mvar|f}} 上的一个区间 {{Mvar|I}} ⊂ℝ，通过在特征值上定义函数和相应[[投影]]{{Mvar|P}}乘积，可以在任意[[特征值和特征向量|特征值]] {{Mvar|λ}} 在{{Mvar|I}}的算子{{Math|''A'' ∈ '''H'''<sub>''n''</sub>}}上定义 [[矩阵函数]] {{Math|''f(A)''}} 如下： 

: <math>f(A)\equiv \sum_j f(\lambda_j)P_j ~,</math> 假设有[[谱定理|谱分解]] <math>A=\sum_j\lambda_j P_j. </math>

=== 算子的[[单调性]] ===
定义在区间 {{Mvar|I}} ⊂ℝ上的函数 {{Math|''f'': ''I'' → ℝ}} 是'''算子单调的''' ，如果对于∀{{Mvar|n}}，∀ {{Math|''A,B'' ∈ '''H'''<sub>''n''</sub>}} 且特征值在 {{Mvar|I}}中，有，

: <math>A \geq B \Rightarrow f(A) \geq f(B),</math>

这里 {{Math|''A ≥ B''}} 表示 {{Math|''A'' − ''B'' ≥ 0}} ，即{{Math|''A'' − ''B''}}是半正定的。 注意， {{Math|''f(A){{=}}A''<sup>2</sup>}}  ''不是'' 算子单调的!

=== 算子的[[凹凸性]] ===
函数 <math>f: I \rightarrow \mathbb{R}</math> 是 '''算子凸的''' 如果对任意 <math>n</math> 和任意 {{Math|''A,B'' ∈ '''H'''<sub>''n''</sub>}} 与特征值在 {{Mvar|I}}的一对矩阵，在 <math>0 < \lambda < 1</math>时有

: <math>
f(\lambda A + (1-\lambda)B) \leq \lambda f(A) + (1 -\lambda)f(B) .
</math>

由于 <math> A</math> 和 <math>B </math> 有的特征值在 {{Mvar|I}}中，注意矩阵 <math>\lambda A + (1-\lambda)B </math> 特征值也在 <math>I</math>中。

函数 <math>f</math> 是 算子'''凹的''' 如果 <math>-f</math> 是算子凸的，即上面关于 <math>f</math> 不等式的符号反过来也成立。

=== 联合凸性 ===
定义在区间 <math>I,J\subset \mathbb{R} </math> 上的函数<math>g: I\times J \rightarrow \mathbb{R}</math>是 ''' 联合凸的'''  ，如果对任意 <math>n</math> 和任意<math>A_1, A_2\in \mathbf{H}_n</math> 且特征值在 <math>I</math> 中，和任意 <math>B_1,B_2\in \mathbf{H}_n</math> 且特征值在 <math>J</math>中，在 <math> 0\leq \lambda\leq 1</math> 时有

: <math>
g(\lambda A_1 + (1-\lambda)A_2,\lambda B_1 + (1-\lambda)B_2 ) \leq \lambda g(A_1, B_1) + (1 -\lambda)g(A_2, B_2).
</math>

一个功能 是  如果 是联合凸，即不平等以上为 {{Mvar|g}} 是相反的。

函数  {{Mvar|g}} 是 算子'''联合凹的''' 如果 −{{Mvar|g}} 是联合凸的，即上面关于 {{Mvar|g}} 不等式符号反过来成立。

=== 迹函数 ===
给定函数 {{Mvar|f}}:ℝ→ℝ，相应地可在 '''H'''<sub>''n''</sub> 上定义 '''迹函数'''

: <math> A\mapsto \operatorname{Tr} f(A)=\sum_j f(\lambda_j),</math>

其中 {{Mvar|A}} 有特征值 {{Mvar|λ}} ，Tr表示算子的 [[跡|迹]] 。

== 迹函数的凸性和单调性 ==
设 {{Mvar|f}}:ℝ→ℝ连续， {{Mvar|n}} 是任意整数。 若 <math>t\mapsto f(t)</math> 是单调递增的，则迹函数 <math>A \mapsto \operatorname{Tr} f(A)</math> 在 '''H'''<sub>''n''</sub>上也是单调递增的。

类似，如果 <math>t \mapsto f(t)</math> 是 [[凸函数|凸]]的，则迹函数<math>A \mapsto \operatorname{Tr} f(A)</math> 在 '''H'''<sub>''n''</sub>上也是凸的，它是严格凸的如果 {{Mvar|f}} 严格凸。

证明和讨论可参考<ref name="C09">E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 {{Doi|10.1090/conm/529/10428}} </ref> 中。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
[[Category:不等式]]
[[Category:矩陣論]]
[[Category:算子理论]]
[[Category:有未审阅翻译的页面]]