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在-{zh-hans:数学; zh-tw:數學}-中，'''迪尼定理'''-{zh-hans:叙; zh-tw:敘}-述如下：-{zh-hans:设; zh-tw:設}- ''X'' 是一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-[[緊致|-{zh-hans:紧; zh-tw:緊}-致]]的[[拓撲空間|拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-]]， <math>\scriptstyle f_n(x)</math>是 ''X'' 上的一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-[[單調遞增|-{zh-hans:单调递; zh-tw:單調遞}-增]]的[[連續|-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-]]-{zh-hans:实; zh-tw:實}-值[[函數|函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-]]列（即使得-{zh-hans:对; zh-tw:對}-任意 ''n'' 和 ''X'' 中的任意 ''x'' 都有<math>\scriptstyle f_n(x) \leq f_{n+1}(x)</math>）。如果-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列[[逐點收斂|逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]到一-{zh-hans:个连续; zh-tw:個連續}-的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}- ''f'' ，那-{zh-hans:么这个; zh-tw:麼這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列[[一致收斂|一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]到 ''f'' 。-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-定理以意大利-{zh-hans:数学; zh-tw:數學}-家[[烏利塞·迪尼|-{zh-hans:乌; zh-tw:烏}-利塞·迪尼]]命名。

-{zh-hans:对于; zh-tw:對於}-[[單調遞減|-{zh-hans:单调递减; zh-tw:單調遞減}-]]的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列，定理同-{zh-hans:样; zh-tw:樣}-成立。-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-定理是少-{zh-hans:数; zh-tw:數}-的由[[逐點收斂|逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]可推出[[一致收斂|一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]的例子之一，原因是由-{zh-hans:单调; zh-tw:單調}-性-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-更-{zh-hans:强; zh-tw:強}-的-{zh-hans:条; zh-tw:條}-件。

注意定理中的 ''f'' 一定要是-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-的，否-{zh-hans:则; zh-tw:則}-可以-{zh-hans:构; zh-tw:構}-造反例。比如-{zh-hans:说; zh-tw:說}-在-{zh-hans:区间; zh-tw:區間}- [0,1] 上的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列 {''x''<sup>n</sup>}。-{zh-hans:这; zh-tw:這}-是一-{zh-hans:个单调递减; zh-tw:個單調遞減}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-，逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-到函-{zh-hans:数; zh-tw:數}- ''f'' ：-{zh-hans:当; zh-tw:當}- ''x'' -{zh-hans:属于; zh-tw:屬於}- [0,1) -{zh-hans:时; zh-tw:時}-''f''(''x'') 等-{zh-hans:于; zh-tw:於}- 0 ，''f''(''1'') 等-{zh-hans:于; zh-tw:於}- 1。但-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列不是[[一致收斂|一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]的，因-{zh-hans:为; zh-tw:為}- ''f'' 不-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-。

==-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明==

我-{zh-hans:们对单调递; zh-tw:們對單調遞}-增的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列作-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明：-{zh-hans:对于; zh-tw:對於}-任意 <math>\varepsilon > 0</math> ，-{zh-hans:对; zh-tw:對}-每-{zh-hans:个; zh-tw:個}- ''n'' ，-{zh-hans:设; zh-tw:設}- <math>\ g_n = f - f_n</math> 再-{zh-hans:设; zh-tw:設}-<math> \ E_n </math>-{zh-hans:为; zh-tw:為}-使得<math>\ g_n(x) < \varepsilon. </math> 的<math> x \in X </math>。-{zh-hans:显; zh-tw:顯}-然每-{zh-hans:个; zh-tw:個}-<math>g_n</math> 都-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-，-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是每-{zh-hans:个; zh-tw:個}-<math>E_n</math> 都是[[開集|-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集]]（在[[拓撲空間|拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-]]中，-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-被定-{zh-hans:义为; zh-tw:義為}-使得-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集的原像都是-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-，可以-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明-{zh-hans:这种; zh-tw:這種}-定-{zh-hans:义; zh-tw:義}-和一般的-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-定-{zh-hans:义; zh-tw:義}-是等-{zh-hans:价; zh-tw:價}-的，而<math>[0,\varepsilon )</math>是正-{zh-hans:实数; zh-tw:實數}-集中的-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集）。函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列{<math>g_n</math>} 是-{zh-hans:单调递减; zh-tw:單調遞減}-的，因此<math>E_n</math> 是<math>E_{n+1}</math> 的子集。又由-{zh-hans:于; zh-tw:於}- <math>\ f_n</math> [[逐點收斂|逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]到 ''f'' ，所有（<math>E_n</math>） 的[[並集|-{zh-hans:并; zh-tw:並}-集]]是 ''X'' 的一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-[[開覆蓋|-{zh-hans:开; zh-tw:開}-覆-{zh-hans:盖; zh-tw:蓋}-]]。但是 ''X'' 是一-{zh-hans:个; zh-tw:個}-[[緊集|-{zh-hans:紧; zh-tw:緊}-集]]-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是存在正整-{zh-hans:数; zh-tw:數}- ''N'' 使得<math>E_N = X</math>。因此-{zh-hans:对; zh-tw:對}-所有 <math>n > N</math>，-{zh-hans:对; zh-tw:對}-所有的 <math> x \in X </math>，都有 <math>0< g_n(x) = f(x) - f_n(x) < \varepsilon </math>，-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是{<math>f_n</math>} [[一致收斂|一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]-{zh-hans:于; zh-tw:於}- ''f'' 。

==-{zh-hans:参见; zh-tw:參見}-==

*[[拓撲空間|拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-]]
*[[一致收斂|一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-]]

[[Category:实分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]