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{{NoteTA |G1=Math}}
[[概率论]]中，'''连续映射定理'''（{{lang-en|Continuous mapping theorem}}）指出[[连续函数]]保持极限，即使其参数是一列[[随机变量]]。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 <math>x_n\rightarrow x</math> 那么 <math>g(x_n)\rightarrow g(x)</math>。连续映射定理指出，如果把确定的数列<math>\{x_n\}</math>替换为一列[[随机变量]]<math>\{x_n\}</math>，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。
这个定理第一次由{{harvtxt|Mann|Wald|1943}}证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。<ref>{{harvnb|Amemiya|1985|page=88}}</ref>

== 敍述 ==
設<math>X_n\ (n = 0, 1, \ldots)</math>和<math>X</math>為[[度量空间]]<math>S</math>中的[[随机元素]]，又設<math>g: S \to S'</math>為自<math>S</math>至另一個度量空間<math>S'</math>的函數，其[[不连续点]]集<math>D_g</math>滿足<math>\mathbb P(X \in D_g) = 0</math>，則：<ref>{{cite book | last = Billingsley | first = Patrick | author-link = Patrick Billingsley | title = Convergence of Probability Measures | year = 1969 | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-07242-7|page=31 (Corollary 1) }}</ref><ref>{{cite book | last = Van der Vaart | first = A. W. | title = Asymptotic Statistics | year = 1998 | publisher = Cambridge University Press | location = New York | isbn = 0-521-49603-9 | url = https://books.google.com/books?id=UEuQEM5RjWgC&pg=PA7 | ref = CITEREFVan_der_Vaart1998 | page = 7 (Theorem 2.3) | access-date = 2022-05-02 | archive-date = 2020-07-28 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200728034543/https://books.google.com/books?id=UEuQEM5RjWgC&pg=PA7 }}</ref>

: <math>
\begin{align}
X_n \ \xrightarrow\text{d}\ X \quad & \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow\text{d}\ g(X); \\[6pt]
X_n \ \xrightarrow\text{p}\ X \quad & \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow\text{p}\ g(X); \\[6pt]
X_n \ \xrightarrow{\!\!\text{a.s.}\!\!}\ X \quad& \implies\quad g(X_n)\ \xrightarrow{\!\!\text{a.s.}\!\!}\ g(X).
\end{align}
</math>
其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示[[依分佈收斂]]、[[依概率收斂]]、[[殆必收斂]]。

== 参考資料 ==
{{reflist}}

{{Authority control}}
[[Category:機率論定理]]
[[Category:统计定理]]
[[Category:包含证明的条目]]