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在[[数学]]中，特别是在[[算子理论]]和[[C*-代数]]理论中，'''连续函数演算'''是一种允许将[[连续函数]]作用于C*-代数中的[[正规元]]的[[函数演算]]。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的[[巴拿赫代数]]区分了开来，对于后者只能定义[[全纯函数演算]]。

== 动机 ==
对于巴拿赫代数 <math>\mathcal{A}</math> 中的成员 <math>a</math> ，若要将其[[谱 (泛函分析)|谱]] <math>\sigma(a)</math> 上的[[多项式函数演算]]推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照[[魏尔施特拉斯逼近定理]]用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 <math>\mathcal{A}</math> 中成员 <math>a</math> ，再证明这些 <math>a</math> 的多项式[[序列]]收敛为 <math>\mathcal A</math> 中元素。

谱集 <math>\sigma(a) \subset \C</math> 上的连续函数由 <math>z</math> 和 <math>\overline{z}</math> 的形如 <math>p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)</math> 的多项式来逼近，其中 <math>\overline{z}</math> 表示 <math>z</math> 的[[复共轭]]，而复共轭是[[复数 (数学)|复数]]上的一个[[對合]]。在将 <math>z</math> 替换为 <math>a</math> 时，为使 <math>\overline{z}</math> 也有对应，须考虑 <math>\mathcal{A}</math> 为巴拿赫[[*-代数]]，即配备了一个对合运算 <math>*</math> 的巴拿赫代数，这时 <math>\overline{z}</math> 就被替换为 <math>a^*</math> 。由于[[多项式环]] <math>\C[z,\overline{z}]</math> 是[[交换环]]，为得到一个 <math>{\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A}</math> 的[[代數同態]]，须限制在 <math>\mathcal A</math> 中的正规元（即满足 <math>a^*a = aa^*</math> 的成员）上。

须保证：若多项式序列 <math>(p_n(z,\overline{z}))_n</math> 在 <math>\sigma(a)</math> 上[[一致收斂]]于一[[连续函数]] <math>f</math> ，则 <math>\mathcal{A}</math> 上的序列 <math>(p_n(a,a^*))_n</math> 收敛于 <math>f(a)\in\mathcal{A}</math> 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

== 定义 ==
{{Math theorem
| math_statement = 设有单位元 <math>e</math> 的C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 中有一正规元 <math>a</math> ，而 <math>\mathcal C (\sigma(a))</math> 是 <math>a</math> 谱集 <math>\sigma(a)</math> 上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个[[*-同态]] <math>\Phi_a \colon \mathcal C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A}</math> 满足 <math>\Phi_a (\boldsymbol{1}) = e</math> 和 <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a</math> ，其中常值函数 <math>\boldsymbol{1}</math> 满足 <math>\boldsymbol{1}(z) = 1</math> ， <math>\operatorname{Id}</math> 是[[恒等函数|恒等映射]]。{{sfn|Dixmier|1977|pages=12-13}}

该*-同态 <math>\Phi_a</math> 称为正规元 <math>a</math> 的'''连续函数演算'''，通常也记作 <math>f(a) := \Phi_a(f)</math>。 {{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=272}}
| name = 连续函数演算}}
由于[[*-同态]]性质，有以下对任意函数 <math>f,g \in \mathcal C(\sigma(a))</math> 与[[标量 (数学)|标量]] <math>\lambda,\mu \in \C</math> 有效的计算规则： {{Sfn|Dixmier|1977|p=5,13}}
{|
|
* <math>(\lambda f + \mu g)(a) = \lambda f(a) + \mu g(a) \qquad</math>
| （线性）
|-
|
* <math>(f \cdot g)(a) = f (a) \cdot g(a)</math>
| （乘法）
|-
|
* <math>\overline{f}(a) =\colon \; (f^*)(a) = (f(a))^*</math>
| （对合）
|}
因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于[[单位元]]的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以{{Le|添加一个单位元|Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension)}}，得到一个扩大了的C*-代数 <math>\mathcal{A}_1</math> 。对于 <math>a \in \mathcal{A}</math> 和满足 <math>f(0) = 0</math> 的 <math>f \in \mathcal C(\sigma (a))</math> ，有 <math>0 \in \sigma (a)</math> 和 <math>f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1</math> 。{{sfn|Dixmier|1977|p=14}}

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

{{Math proof|设 <math>C^*(a,e)</math> 是 <math>a</math> 和 <math>e</math> 所生成的C*-[[子代数]]， <math>a</math> 在 <math>C^*(a,e)</math> 中的谱和在 <math>\mathcal{A}</math> 中时是一样的，于是证明了 <math>\mathcal{A} = C^*(a,e)</math> 。{{sfn|Dixmier|1977|p=11}} 实际的构造几乎直接可从{{Le|盖尔范德表示|Gelfand representation}}中得出：只需设 <math>\mathcal{A}</math> 是某个[[紧空间]] <math>X</math> 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 <math>\Phi_a(f) = f \circ x</math> 。{{sfn|Dixmier|1977|p=13}}
|title=连续函数演算的存在性的证明}}

{{Math proof|考虑到 <math>\Phi_a(\boldsymbol{1})</math> 和 <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)})</math> 已被固定，由于要求 <math>\Phi_a</math> 为*-同态，它对于所有的多项式 <math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)</math> 来说已经唯一定义。根据[[魏尔施特拉斯逼近定理]]，它们构成了 <math>\mathcal C(\sigma(a))</math> 的一个[[稠密集|稠密]]子代数。因此 <math>\Phi_a</math> 是唯一的。{{sfn|Dixmier|1977|p=13}}
|title=连续函数演算的唯一性的证明}}

在[[泛函分析]]中，常对[[正规算子]] <math>T</math> 的连续函数演算感兴趣，即 <math>\mathcal{A}</math> 是[[希尔伯特空间]] <math>H</math> 上的[[有界算子]]所构成的C*-代数 <math>\mathcal{B}(H)</math> 的情况。在文献中，通常仅对此情况的[[自伴算子]]的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 {{sfn|Reed|Simon|1980|pages=222-223}}

== 性质 ==

=== 到子代数的等距同构 ===

连续函数演算 <math>\Phi_a</math> 是到 <math>a</math> 和 <math>e</math> 所生成的C*-子代数 <math>C^*(a,e)</math> 的[[等距同构]]，即：{{Sfn|Dixmier|1977|p=13}}

* {{nowrap|<math display="block">\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\left\| \Phi_a(f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)} .</math>}}于是 <math>\Phi_a</math>显然是连续的。
* {{nowrap|<math display="block">\Phi_a\left( \mathcal C(\sigma(a)) \right) = C^*(a, e) \subseteq \mathcal{A},</math>}} 也就是说 <math>C^*(a,e)</math> 是连续函数演算的值域。

由于 <math>a</math> 是 <math>\mathcal{A}</math> 中的正规元，由 <math>a</math> 和 <math>e</math> 生成的C*-子代数是一个[[交換代數|交换代数]]。特别地， <math>f(a)</math> 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都[[对易]]。{{sfn|Dixmier|1977|pages=5,13}}

=== 与其他函数演算的关系 ===
[[全纯函数演算]]可无歧义地[[映射的扩张|扩张]]为连续函数演算。{{sfn|Kaniuth|2009|p=147}}因此，连续函数演算在多项式 <math>p(z,\overline{z})</math> 上重合于多项式函数演算{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=272}}：
<math display="block">\forall c_{k,l} \in \C,\quad\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^*) =  \sum_{k,l=0}^N c_{k, l} a^k(a^*)^l,</math>
其中 <math>p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l</math> 。

对于 <math>\sigma(a)</math> 上一致收敛于函数 <math>f \in \mathcal C(\sigma(a))</math> 的函数序列 <math>f_n \in \mathcal C(\sigma(a))</math> ， <math>f_n(a)</math> 收敛于 <math>f(a)</math> 。{{Sfn|Blackadar|2006|p=62}}对于 <math>\sigma(a)</math> 上[[绝对收敛|绝对]]且[[一致收斂|一致]]地收敛的[[幂级数]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math> ，就有 <math display="inline">f(a) = \sum_{n=0}^\infty c_na^n</math> 。{{sfn|Deitmar|Echterhoff|2014|p=55}}

=== 反函数的连续函数演算 ===
若有 <math>f \in \mathcal{C}(\sigma(a))</math> 和 <math>g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a)))</math> ，那么它们的函数演算的[[复合函数|复合]]满足 <math>(g \circ f)(a) = g(f(a))</math> 。{{sfn|Dixmier|1977|p=14}}

设有两个正规元 <math>a,b \in \mathcal{A}_N</math> 满足 <math>f(a) = f(b)</math> ，且无论限制在 <math>\sigma(a)</math> 还是 <math>\sigma(b)</math> 上时 <math>g</math> 都是 <math>f</math> 的[[反函數|反函数]]，那么必然有 <math>a = b</math> ，因为 <math>a = (f \circ g) (a) = f(g(a)) = f(g(b)) = (f \circ g) (b) = b</math> 。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=275}}

=== 谱映射定理 ===
[[谱映射定理]] <math display="block">\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))</math> 
也成立{{sfn|Dixmier|1977|p=13}}。

对于 <math>b \in \mathcal{A}</math> ，若有 <math>ab = ba</math> ，那么也有
<math display="block">\forall f \in \mathcal C ( \sigma (a)),\quad f(a)b = bf(a).</math>
也就是说若 <math>b</math> 与 <math>a</math> 对易，则它也与 <math>a</math> 的在连续函数下的像 <math>f(a)</math> 对易。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=239}}

=== 与*-同态相容 ===
设 <math>\Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math> 是C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 和 <math>\mathcal{B}</math> 间的[[保单位元]]的*-同态，那么 <math>\Psi</math> 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：
<math display="block">\forall f \in C(\sigma(a)),\quad\Psi(f(a)) = f(\Psi(a)).</math>
特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。{{sfn|Dixmier|1977|p=5,13}}

=== 函数性质与像的性质间的关系 ===
利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质{{Sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=271}}：

* <math>f(a)</math> 是[[可逆元]]当且仅当 <math>f</math> 在 <math>\sigma(a)</math> 上没有[[根 (数学)|零点]]。{{sfn|Kaballo|2014|p=332}}于是有 <math display="inline">f(a)^{-1} = \tfrac{1}{f} (a)</math> 。{{sfn|Schmüdgen|2012|p=93}}

* <math>f(a)</math> 是[[自伴元]]当且仅当 <math>f</math> 是实值函数，也就是<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}</math>说 {{Nowrap|<math>f(\sigma(a)) \subseteq \R</math>.}}
* <math>f(a)</math> 是[[正元]]（ <math>f(a) \geq 0</math> ）当且仅当 <math>f \geq 0</math> ，也就是说 {{Nowrap|<math>f(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty )</math>.}}
* <math>f(a)</math> 是[[幺正元]]，若 <math>f</math> 的值落在[[圓群|复单位圆]]中。也就是说， <math>f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.</math>
* <math>f(a)</math> 是一个[[投影 (线性代数)|投影]]，若 <math>f</math> 仅取值 <math>0</math> 或 <math>1</math> ，也就是说 {{Nowrap|<math>f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}</math>.}}

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在{{Section link||应用}}一节中展示。

=== 有界算子代数的谱 ===

在 <math>\mathcal{A}</math> 是希尔伯特空间 <math>H</math> 上的有界算子所构C*-代数 <math>\mathcal{B}(H)</math> 的特殊情况下，正规算子 <math>T \in \mathcal{B}(H)</math> 的对应[[特征值和特征向量|特征值]] <math>\lambda \in \sigma(T)</math> 的[[特征值和特征向量|特征向量]] <math>v \in H</math> 也将是算子 <math>f(T)</math> 关于特征值 <math>f(\lambda) \in \sigma(f(T))</math> 的特征向量。设 <math>Tv = \lambda v</math> ， 则 <math>\forall f \in \sigma(T),\quad f(T)v = f(\lambda)v</math> 。{{sfn|Reed|Simon|1980|p=222}}

== 应用 ==
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

=== 谱 ===
设 <math>\mathcal{A}</math> 是一个C*-代数而 <math>a \in \mathcal{A}_N</math> 为其中一个正规元，则对于谱 <math>\sigma(a)</math> 有以下结论{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=271}}：

* <math>a</math> 是自伴元当且仅当 <math>\sigma(a) \subseteq \R.</math>
* <math>a</math> 是幺正元当且仅当 <math>\sigma(a) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.</math>
* <math>a</math> 是一个投影当且仅当 {{Nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}</math>.}}

{{Math proof
|正规元 <math>a \in \mathcal{A}</math> 的连续函数演算 <math>\Phi_a</math> 是一个保单位元的*-同态，因此若 <math>\operatorname{Id} \in \mathcal C( \sigma(a))</math> 是自伴的/幺正的/投影，则 <math>a</math> 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。
# <math>\operatorname{Id}</math> 自伴的充要条件是 <math display="block">\forall z \in \sigma(a),\quad z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z},</math> 即 <math>\sigma(a)</math> 是实的。
# <math>\text{Id}</math> 幺正的充要条件是 <math display="block">\forall z \in \sigma(a),\quad 1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2,</math> 即 <math>\sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \C \ | \ \left\| \lambda \right\| = 1 \}</math> 。
# <math>\text{Id}</math> 成为投影的充要条件是 <math display="block">(\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z),</math> 即 <math display="block">\forall z \in \sigma(a),\quad z^2 = z = \overline{z},</math> 或者说 <math>\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}</math> 。
|title=证明{{Sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=272}}
}}

=== 开方 ===
设 <math>a</math> 是 C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 中的正元，那么对于每一个 <math>n \in \mathbb{N}</math> 存在一个唯一确定的正元 <math>b \in \mathcal{A}_+</math> 满足 <math>b^n =a</math> ，即唯一的 <math>n</math> 次方根。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|pages=248-249}}

{{Math proof
|对于每个 <math>n \in \mathbb{N}</math> ，开方函数 <math display="block">f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+\colon x \mapsto \sqrt[n]x</math> 是 <math>\sigma (a) \subseteq \R_0^+</math> 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 <math>b \; \colon = f_n (a)</math> ，那么根据连续函数演算的性质有 <math display="block">b^n = (f_n(a))^n = (f_n^n)(a) = \operatorname{Id}_{\sigma(a)}(a)=a.</math>

根据谱映射定理可知 <math display="block">\sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty),</math> 也就是说 <math>b</math> 是正元。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|pages=248-249}}

设有另一正元 <math>c \in \mathcal{A}_+</math> 满足 <math>c^n = a = b^n</math> ，则有 <math>c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b</math> ，因为正实数上的开方函数是函数 <math>z \mapsto z^n</math> 的反函数。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=275}}
|title=证明
}}

若 <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 <math>n \in \N</math> ，存在唯一确定的自伴元 <math>b \in \mathcal{A}_{sa}</math> 满足 <math>b^n = a</math> 。{{sfn|Blackadar|2006|p=63}}

类似地，对于C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 中正元 <math>a</math> 和任意 <math>\alpha \geq 0</math> ， <math>a^\alpha</math> 唯一定义了一个 <math>C^*(a)</math> 中的正元，并满足 <math display="block">\forall\alpha, \beta \geq 0,\quad a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}.</math>
若 <math>a</math> 是可逆元，则还可以推广到取负值的 <math>\alpha</math> 。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|pages=248-249}}

=== 绝对值 ===
若 <math>a \in \mathcal{A}</math> 且 <math>a^*a</math> 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 <math>|a| = \sqrt{a^*a}</math> ，因为它在正实数上连续。{{sfn|Blackadar|2006|pages=64-65}}

设 <math>a</math> 是C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 中的自伴元，则存在正元 <math>a_+,a_- \in \mathcal{A}_+</math> ，使得 <math>a = a_+ - a_-</math> 和 <math>a_+ a_- = a_- a_+ = 0</math> 成立。 <math>a_+</math> 和 <math>a_-</math> 也被称为[[正部和负部]]。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=246}}此外还有 <math>|a| = a_+ + a_-</math> 。{{sfn|Dixmier|1977|p=15}}

{{Math proof
|函数 <math>f_+(z) = \max(z,0)</math> 和 <math>f_-(z) = -\min(z, 0)</math> 是 <math>\sigma(a) \subseteq \R</math> 上的连续函数且满足
* <math>\operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z),</math>
* <math>f_+(z)f_-(z) = f_-(z)f_+(z) = 0.</math>

设 <math>a_+ = f_+(a), a_- = f_-(a)</math> ，由谱映射定理可知 <math>a_+</math> 和 <math>a_-</math> 是正元，且有{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|p=246}}：
* <math>a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-,</math>
* <math>a_+ a_- = f_+(a)f_-(a) = (f_+f_-)(a) = 0 = (f_-f_+)(a) = f_-(a)f_+(a) = a_- a_+.</math> 

此外{{sfn|Dixmier|1977|p=15}}，
<math display="block">f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2},</math>
故
<math display="block">a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}.</math>
|title=证明}}

=== 幺正元 ===
若 <math>a</math> 是有单位元 <math>e</math> 的C*-代数 <math>\mathcal{A}</math> 中的自伴元，那么 <math>u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}</math> 是幺正元，其中 <math>\mathrm{i}</math> 表示[[虛數單位|虚数单位]]。反过来，若 <math>u \in \mathcal{A}_U</math> 是一个幺正元且其谱是复单位圆的[[子集|真子集]]（即 <math>\sigma(u) \subsetneq \mathbb{T}</math> ），那么存在一个自伴元 <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> 满足 <math>u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}</math> 。{{sfn|Kadison|Ringrose|1983|pages=274-275}}

{{Math proof
|定义函数 <math>f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}</math> ，由于 <math>a</math> 的自伴性使得 <math>\sigma(a) \subset \R</math> ，那么 <math>f</math> 在 <math>a</math> 的谱上有定义。取 <math>u = f(a)</math> ，由于 <math>f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1</math> ，根据函数演算性质可知 <math>uu^* = u^*u = e</math> ，也就是说 <math>u</math> 是幺正元。

对于第二个命题，现在将 <math>f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}</math> [[限制 (數學)|限制]]到区间 <math>[z_0,z_0+2\pi)</math> 上（其中 <math>z_0 \in \R</math> ），从而可以定义其反函数 <math>g:\mathbb T \to [z_0,z_0+2\pi):\ g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})=x</math> ，且 <math>g</math> 在谱集 <math>\sigma(u)</math> 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 <math>u</math> 映为自伴元 <math>a=g(u)</math> 。
|title=证明{{Sfn|Kadison|Ringrose|1983|pp=274-275}}}}


=== 谱分解定理 ===
设 <math>\mathcal{A}</math> 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 <math>a \in \mathcal{A}_N</math> 。假设谱由 <math>n</math> 个两两[[不交集|不相交的]][[闭集|闭]]子集 <math>\sigma_k \subset \C,\ (1\leq k\leq n)</math> 构成，也就是说 <math>\sigma(a)=\sigma_1 \sqcup \cdots \sqcup \sigma_n</math> 。那么就存在投影 <math>p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A}</math> ，使得下面的命题对任意 <math>j\geq1,k \leq n</math> 都成立：{{sfn|Kaballo|2014|p=375}}

# 投影的谱满足 <math>\sigma(p_k)=\sigma_k.</math>
# 投影与 <math>a</math> 对易，即 <math>p_ka=ap_k.</math>
# 投影是[[正交]]的，即 <math>p_jp_k=\delta_{jk} p_k.</math>
# 投影之和为单位元，即 <math>\sum_{k=1}^n p_k = e.</math>

特别是，有分解 <math display="inline">a = \sum_{k=1}^n a_k</math> ，其中 <math>\forall 1 \leq k \leq n,\sigma(a_k) = \sigma_k.</math>

{{Math proof
|由于 <math>\sigma_k</math> 是闭的，故其[[指示函数]] <math>\chi_{\sigma_k}</math> 在 <math>\sigma(a)</math> 上连续，可以定义其连续函数演算。

令 <math>p_k := \chi_{\sigma_k} (a)</math> 。
由于 <math>\sigma_k</math> 两两不交，有
* <math>\chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k},</math>
* <math>\sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1},</math>
从而由指示函数的连续函数演算所得的 <math>p_k</math> 满足性质3、4。

性质2则可由 <math display="block">a_k = a p_k = \operatorname{Id} (a) \cdot \chi_{\sigma_k} (a) = (\operatorname{Id} \cdot \chi_{\sigma_k}) (a)</math> 证明。
|title=证明{{Sfn|Kaballo|2014|p=375}}}}

== 注释 ==
{{Reflist}}

== 参考资料 ==

* {{Cite book|last=Blackadar|first=Bruce|title=Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.|publisher=Springer|location=Berlin/Heidelberg|year=2006|isbn=3-540-28486-9}}
* {{Cite book|last=Deitmar|first=Anton|last2=Echterhoff|first2=Siegfried|title=Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.|publisher=Springer|year=2014|isbn=978-3-319-05791-0}}
* {{Cite book|last=Dixmier|first=Jacques|title=Les C*-algèbres et leurs représentations|language=fr|publisher=Gauthier-Villars|year=1969}}
* {{Cite book|last=Dixmier|first=Jacques|title=C*-algebras|url=https://archive.org/details/calgebras0000dixm|publisher=North-Holland|location=Amsterdam/New York/Oxford|year=1977|isbn=0-7204-0762-1|translator-last=Jellett|translator-first=Francis}} English translation of {{Cite book|display-authors=0|last=Dixmier|first=Jacques|title=Les C*-algèbres et leurs représentations|language=fr|publisher=Gauthier-Villars|year=1969}}
* {{Cite book|last=Kaballo|first=Winfried|title=Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.|language=de|publisher=Springer|location=Berlin/Heidelberg|year=2014|isbn=978-3-642-37794-5}}
* {{Cite book|last=Kadison|first=Richard V.|last2=Ringrose|first2=John R.|title=Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.|publisher=Academic Press|location=New York/London|year=1983|isbn=0-12-393301-3}}
* {{Cite book|last=Kaniuth|first=Eberhard|title=A Course in Commutative Banach Algebras.|url=https://archive.org/details/courseincommutat0000kani|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-0-387-72475-1}}
* {{Cite book|last=Schmüdgen|first=Konrad|title=Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-94-007-4752-4}}
* {{Cite book|last=Reed|first=Michael|last2=Simon|first2=Barry|title=Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis|publisher=Academic Press|location=San Diego, CA|year=1980|isbn=0-12-585050-6}}
* {{Cite book|last=Takesaki|first=Masamichi|title=Theory of Operator Algebras I.|publisher=Springer|location=Heidelberg/Berlin|year=1979|isbn=3-540-90391-7}}

== 外部链接 ==

* [http://planetmath.org/continuousfunctionalcalculus Continuous functional calculus - PlanetMath] {{Wayback|url=http://planetmath.org/continuousfunctionalcalculus |date=20241127061153 }}

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