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{{Otheruses
|subject=数学分析中的达布定理
|other=[[微分几何]]中的达布定理
|达布定理 (微分几何)
}}
在[[实分析]]中，'''达布定理'''（{{lang-en|'''Darboux's theorem'''}}）得名于[[让·加斯东·达布]]。达布定理说明所有[[实函数]]的[[导数]]都具有'''介值性质'''：实导函数对任意[[区间]]的[[值域]]仍是区间。即，若<math>f</math>为可导函数，则对任意区间<math>I</math>，<math>f'(I)</math> 仍为区间。

当函数 <math>f</math> 是一阶连续可导函数时，由[[介值定理]]，达布定理显然成立。当导函数 <math>f'</math> 不连续时，达布定理说明 <math>f'</math> 仍具有介值性质。

==内容==
设<math>f\colon [a,b]\to \R</math>为闭区间<math>[a,b]</math>上的可导实函数，那么对介于<math>f'(a)</math>和<math>f'(b)</math>之间的任意<math>y</math>，存在<math>x \in [a,b]</math>使得<math>f'(x) = y</math>。

==证明==
不失一般性，可假设<math>f\,'_{+}(a) > y > f\,'_{-}(b)</math>。又设<math>g(x):= f(x)-tx</math>，则 <math>g'_{+}(a) > 0 > g'_{-}(b)</math>。只需找到<math>g'</math>在<math>[a,b]</math>上的一个零点即可。

由于<math>g</math>是<math>[a,b]</math>上的连续函数，由[[極值定理]]，<math>g</math>在<math>[a,b]</math>上达到极大值。由于<math>g'_{+}(a) > 0</math>，极大值不在<math>a</math>处取到。同理，由于<math>g'_{-}(b) < 0</math>，极大值也不在b处取到。设<math>x</math>为取到极大值的点，这时，<math>g\,'(x) = 0</math>。于是定理得证。

==历史==
19世纪时，大部分[[数学家]]认为[[介值定理]]已经可以刻畫出[[连续|连续函数]]。但在1875年，[[达布|让·加斯东·达布]]证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的[[反例]]是[[拓扑学家正弦曲线]]函数：
:<math>x \mapsto \begin{cases}\sin(1/x) & x\ne 0\text{时 }, \\ 
0 & x=0\text{时 } . \end{cases}</math>
其导数在<math> x=0 </math>处并不连续。

==参考资料==
*万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
*潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

==外部链接==
* {{planetmath|urlid=darbouxstheoremanalysis|title=Darboux’s theorem (analysis)}}
* {{planetmath|urlid=proofofdarbouxstheorem|title=Proof of Darboux’s theorem}}

[[Category:微積分定理]]
[[Category:连续映射]]
[[Category:实分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]