查看“︁辫群”︁的源代码

{{Multiple issues|{{copyedit|time=2020-01-31T04:52:41+00:00}}
{{expand language|1=en|page=|time=2020-01-31T04:52:41+00:00}}}}[[File:Braid_4perm.png|右|缩略图|260x260像素|[[置換群]] S4的24个元素]]
'''辮群'''（{{lang-en|Braid group}}）為[[數學]]領域中[[紐結理論]]的一個概念。一個'''<math>\ n</math> 股的辮群'''（記為<math>\ B_{n}</math>）是元素為 n-braid 的[[群]]，其[[二元運算|運算]]為前一個 n-braid 按後一個 n-braid 的方式操作（見 {{Section link||舉例說明}}）。

而'''辮群'''是由[[埃米爾·阿廷]](1925<ref>{{cite journal |author1=陳國璋(Kuo-Chang Chen) |title=利用辮群設計支援可比較搜尋之加密法 |date=2010 |pages=46 |url=https://hdl.handle.net/11296/c4335j |accessdate=2023-03-25}}</ref>)提出的，因此又被稱為'''阿廷辮群'''（{{lang-en|Artin Braid group}}）。<ref name="Braid Group">{{cite web |author1=Weisstein, Eric W. |title=Braid Group |url=https://mathworld.wolfram.com/BraidGroup.html |website=MathWorld--A Wolfram Web |accessdate=2023-03-25 |archive-date=2023-03-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230325150917/https://mathworld.wolfram.com/BraidGroup.html |dead-url=no }}</ref>
==引言==
想像有4條橫著擺放的繩子，它們的兩端分別被固定在左右兩側的牆上，如下圖所示，黑點代表被固定的位置。

[[File:Braid_s1_inv.png|center|一種 4 股的辮子]]

我們稱這樣繩子的擺放方式，或是編織的方式為一個'''辮子'''（{{lang-en|braid}}）。而正式的寫法中會連繩子的數目也一起表達，將4股的辮子以英文簡寫成 '''4-braid'''。

如果將剛才的辮子中下面兩條的右端交換位置，會變成下圖的樣子。

[[File:Braid_s1_inv_s3_inv.png|center|另外一種 4 股的辮子]]

那麼這兩種會是不同的4股辮子(
{{lang-en|4-braid}})。 如果將這兩種辮子理解為[[群]]中的元素，那麼剛才把右端交換位置的操作就是[[群]]當中的[[二元運算|運算]]。在'''辮群'''的討論中，常用這些操作來表示不同的辮子，這種表示方法稱作 '''braid word'''。<ref name="Braid Group"/>
== 舉例說明 ==
在這個小節中，以<math>\ n=4</math>為例。

下面的两条辫子是不同的：
{|
|[[File:Braid_s1_inv.png|编织sigma1<sup>-1</sup>]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;不同于&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[File:Braid_s1.png|编织sigma1]]
|}
但是下面的两条辫子是相同的：
{|
|[[File:Braid_s1_inv.png|编织sigma1<sup>-1</sup>]]
|&nbsp;&nbsp;同于&nbsp;
|[[File:Braid_s1_inv_alt.png|另一个代表西格玛1<sup>-1</sup>]]
|}
所有的股都必须从左向右移动，所以下面的图片并不是一条辫子：
{|
|[[File:Braid_nobraid.png|不是一个编织]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;不是辫子
|}
我们可以编两条辫子：
{|
|[[File:Braid_s3.png]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp; 加 &nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[File:Braid_s2.png]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp; 等于 &nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[File:Braid_s3s2.png]]
|}
另一个例子：
{|
|[[File:Braid_s1_inv_s3_inv.png]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp; 加&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[File:Braid_s1_s3_inv.png]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp; 等于 &nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[File:Braid_s3_inv_squared.png]]
|}
复合 / 编织物σ和τ的组成写为στ。

<math>B_4</math>是四股上所有编织物的集合。上面的复合是[[群]]操作，[[單位元|单位元]]是四股水平平行股的辫子，辫子B的[[逆元素]]是取消B的操作。

== 应用 ==
'''辮群'''的應用包括 [[陳-西蒙斯理論]]、亚历山大定理（Alexander's Theorem）、[[楊-巴克斯特方程]]、 [[代数几何]]、[[任意子]]、等。<ref>{{Cite journal|title=The Braid Monodromy of Plane Algebraic Curves and Hyperplane Arrangements|last=Cohen|first=Daniel|last2=Suciu|first2=Alexander|date=1997|journal=Commentarii Mathematici Helvetici|accessdate=|issue=2|doi=10.1007/s000140050017|volume=72|pages=285–315|arxiv=alg-geom/9608001|pmid=}}</ref>

* [[流体力学]]、chaotic mixing、[[拓撲熵|拓扑熵]]、Nielsen-Thurston分类<ref>{{Citation|last=Boyland|pages=277–304|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110726092237/http://www.math.ufl.edu/~boyland/stir.pdf|year=2000|number=1|volume=403|url=http://www.math.ufl.edu/~boyland/stir.pdf|title=Topological fluid mechanics of stirring|journal=Journal of Fluid Mechanics|first=Philip L.|mr=1742169|doi=10.1017/S0022112099007107|bibcode=2000JFM...403..277B|first3=Mark A.|last3=Stremler|first2=Hassan|last2=Aref|archivedate=2011-07-26}}</ref><ref>{{Citation|last=Gouillart|first=Emmanuelle|last2=Thiffeault|first2=Jean-Luc|last3=Finn|first3=Matthew D.|arxiv=nlin/0510075|doi=10.1103/PhysRevE.73.036311|mr=2231368|number=3|journal=Physical Review E|page=036311|title=Topological mixing with ghost rods|volume=73|year=2006|bibcode=2006PhRvE..73c6311G}}</ref><ref>{{Citation|last=Stremler|number=11|bibcode=2011PhRvL.106k4101S|year=2011|volume=106|title=Topological chaos and periodic braiding of almost-cyclic sets|page=114101|journal=Physical Review Letters|doi=10.1103/PhysRevLett.106.114101|first=Mark A.|first4=Pankaj|last4=Kumar|first3=Piyush|last3=Grover|first2=Shane D.|last2=Ross|url=https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/10919/24513/1/PhysRevLett.106.114101.pdf}}</ref>
* [[量子力学|量子物理学]]、[[任意子]]、[[量子计算机|量子计算]]、[[量子信息]]

== 参见 ==

* [[Artin群|阿廷群]]
* [[紐結理論|结论]]

== 参考文献 ==
<references />
[[Category:紐結理論]]
[[Category:陈-西蒙斯理论]]