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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[數學]]中，'''扭對稱矩阵'''是指一個<math>2n \times 2n</math>的[[矩阵]]M（通常佈於[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]域上），使之滿足
:<math>M^T \Omega M = \Omega\,</math>。
其中<math>M^T</math>表<math>M</math>的[[轉置矩陣]]，而<math>\Omega</math>是一個固定的可逆[[斜對稱矩陣]]；這類矩陣在適當的變化後皆能表為
:<math>\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
或
:<math>\Omega = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{bmatrix}</math>
兩者的差異僅在於基的[[置換]]，其中<math>I_n</math>是<math>n \times n</math> [[單位矩陣]]。此外，<math>\Omega</math> [[行列式]]值等於一，且其[[逆矩陣]]等於<math>-\Omega</math>。

==性質==
凡扭對稱矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為
:<math>M^{-1} = \Omega^{-1} M^T \Omega</math>

其中，[[反對稱矩陣]]<math>\Omega</math>具有如下運算性質：
:<math>\Omega^T= - \Omega = \Omega^{ - 1}\,\!</math> ,
:<math>\Omega^T \Omega = \Omega \Omega^T = I_{2n} \,\!</math> ,
:<math>\Omega\Omega= - I_{2n}\,\!</math> ,
:<math>det(\Omega)=1\,\!</math> 。

此外，扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域<math>F</math>上的所有<math>2n</math>階扭對稱矩阵構成一個[[群]]，記為<math>\mathrm{Sp}(2n,F)</math>。事實上它是<math>\mathrm{GL}(2n,F)</math>的閉代數子群，其維度為<math>n(2n+1)</math>。當<math>F=\mathbb{R},\mathbb{C}</math>時，<math>\mathrm{Sp}(2n,F)</math>帶有自然的（複）[[李群]]結構。

由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於<math>\pm 1</math>；事實上，可以利用[[普法夫值]]的公式：
:<math>\mbox{Pf}(M^T \Omega M) = \det(M)\mbox{Pf}(\Omega)</math>。
由於<math>M^T \Omega M = \Omega</math>、<math>\mbox{Pf}(\Omega) \neq 0</math>，遂導出<math>det(M) = 1</math>。

當<math>n=1</math>時，有<math>\mathrm{Sp}(2)=\mathrm{SL}(2)</math>。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

==扭對稱變換==
在[[線性代數]]的抽象框架裡，我們可以用偶數維[[向量空間]]<math>V</math>上的[[線性變換]]取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱[[雙線性形]]<math>\omega: V \times V \to F</math>以取代矩陣<math>\Omega</math>（賦有這類雙線性形的空間稱為[[扭對稱向量空間]]），如此便得到與基底無關的定義：

: '''定義'''。一個扭對稱向量空間<math>(V,\omega)</math>上的線性變換<math>L: V \to V</math>若滿足
: <math>\omega(Lu, Lv) = \omega(u, v)</math>。
:則稱<math>L</math>為扭對稱變換。

考慮<math>\eta := \wedge^{\frac{\dim V}{2}} \omega</math>，由於<math>L^* (\omega)=\omega</math>，故<math>L^*(\eta) = \eta</math>；另一方面，<math>L^* (\eta) = (\det L)  \cdot \eta</math>，於是得到<math>\det L = 1</math>。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定<math>V</math>的一組基，藉此將<math>L</math>寫成矩陣<math>M</math>，並將<math>\omega</math>表成斜對稱矩陣<math>\Omega</math>，便回到先前的定義：
:<math>M^T \Omega M = \Omega</math>。

== 相關條目 ==
* [[辛標記]]
* [[辛向量空間]]
* [[辛群]]
* {{le|辛表示|Symplectic representation}}
* [[正交矩陣]]
* [[幺正矩陣]]
* [[哈密頓力學]]
* [[正則變換]]

==外部連結==
* {{planetmath reference|id=4140|title=Symplectic matrix|urlname=symplecticmatrix}}
* {{planetmath reference|id=7455|title=The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial|urlname=characteristicpolynomialofasymplecticmatrixisareciprocalpolynomial}}

[[Category:矩陣|X]]
[[Category:辛幾何|X]]