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{{dablink|关于这个物理量的严格定义及其推导过程，请参见[[转动惯量]]。}}

對於一個有多個質點的系統，<math>I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}</math>。若該系統由[[剛體]]組成，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用[[積分]]計算其轉動慣量。以下列表给出了常见物理模型的转动惯量。

值得注意的是，不應將其與[[截面慣量]]（又稱[[截面二次轴矩]]（{{lang|en|second axial moment of area}}）），[[截面矩]]（{{lang|en|area moment of inertia}}）混淆，後者用於彎折方面的計算。以下之轉動慣量假設了整個物體具有均勻的常數密度。

== 常见物理模型的转动惯量 ==
{|class="wikitable"
|-
! 描述 || 圖形 || 轉動慣量 || 註解
|-
|质点，离轴距离为''r''，质量为''m''||[[File:PointInertia.svg|170px]]||<math>I = mr^2 \,\!</math>||—
|-
|兩端開通的薄[[圓柱]]殼，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_thin_cylinder.png]] || <math>I = m r^2 \,\!</math><ref name="serway">{{cite book
|title=Physics for Scientists and Engineers, second ed.
|author=Raymond A. Serway
|page=202
|publisher=Saunders College Publishing
|isbn=0-03-004534-7
|year=1986
}}</ref> || 此表示法假設了殼的厚度可以忽略不計。此為下一個物體，當其''r''<sub>1</sub> = ''r''<sub>2</sub>時的特例。 
|-
|兩端開通的厚圓柱，內半徑為''r''<sub>1</sub>，外半徑為''r''<sub>2</sub>，高為''h''，質量為''m''
| [[File:moment_of_inertia_thick_cylinder.png]]
| <math>I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)</math><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)+h^2\right]</math><br>或者定義[[標準化 (統計學)|標準化]]厚度''t<sub>n</sub>'' = ''t''/''r''並定義''r'' = ''r''<sub>2</sub>，<br>可得<math>I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}t_n^2\right) </math>||—
|-
|實心圓柱，半徑為''r''，高為''h''，質量為''m''
| [[File:moment_of_inertia_solid_cylinder.png]]||<math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math><ref name="serway"/><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)\,\!</math>|| 此為前面物體，當其''r''<sub>1</sub> = 0時的特例。
|-
|薄圆盘，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_disc.png]]||<math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!</math>|| 此為前面物體，當其''h'' = 0時的特例。
|-
|圓環，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_hoop.png]]||<math>I_z = m r^2\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!</math>|| 此為後面[[環面]]，當其''b'' = 0時的特例。
|-
|球壳，内半径为''r''<sub>1</sub>，外半径为''r''<sub>2</sub>，质量为''m''||[[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]]||<math>I = \frac{2}{5} m\left(\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right)\,\!</math><ref name="serway"/>||—
|-
|實心[[球 (数学)|球]]，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_solid_sphere.png]]||<math>I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!</math><ref name="serway"/>|| 此为前面物体，当其''r''<sub>1</sub> = 0时的特例；也是后面椭球，当其''a'' = ''b'' = ''c''时的特例。
|-
|空心[[球 (数学)|球]]，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_hollow_sphere.png]]||<math>I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!</math>|| 此为前面球壳，当其''r''<sub>1</sub> → ''r''<sub>2</sub>时的极限。
|-
|椭球，半轴为''a''、''b''、''c''，质量为''m''||[[File:Ellipsoid 321.png|170px]]||<math>I_a = \frac{1}{5} m \left(b^2 + c^2\right) \,\!</math><br><math>I_b = \frac{1}{5} m \left(a^2 + c^2\right) \,\!</math><br><math>I_c = \frac{1}{5} m \left(a^2 + b^2\right) \,\!</math>||—
|-
|[[圆锥]]，半徑為''r''，高為''h''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_cone.svg]]||<math>I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!</math><ref name="beer">{{cite book
|title=Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.
|author=Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr
|page=911
|publisher=McGraw-Hill
|isbn=0-07-004389-2
|year=1984
}}</ref><br><math>I_x = I_y = \frac{3}{20}m\left({r^2}+{4}h^2\right) \,\!</math><ref name="beer"/>||—
|-
|實心[[长方体]]，高為''h''，宽為''w''，长為''d''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_solid_rectangular_prism.png]]||<math>I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right) \,\!</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right) \,\!</math>|| 边长为<math>s</math>的[[立方体]]对任意过质心的轴的转动惯量<math>I_\mathrm{CM} = \frac{ms^2}{6} \,\!</math>。
|-
|正四面体，边长为''s''，质量为''m''||[[File:Tetraaxial.gif|170px]]||<math>I_\mathrm{solid} = \frac{1}{20} ms^2 \,\!</math><br><math>I_\mathrm{hollow} = \frac{1}{12} ms^2 \,\!</math><ref name="satterly"/>|| “solid”意为实心，“hollow”意为空心，下同。
|-
|正八面体，边长为''s''，质量为''m''||[[File:Octahedral axis.gif|170px]]||<math>I_{x, \mathrm{hollow}} = I_{y, \mathrm{hollow}} = I_{z, \mathrm{hollow}} = \frac{1}{6} ms^2 \,\!</math><ref name="satterly">{{cite journal |last=Satterly |first=John |title=The Moments of Inertia of Some Polyhedra |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1958-02_42_339/page/11 |jstor=3608345 |publisher= Mathematical Association |volume=42 |issue=339 |pages=11–13 |journal=The Mathematical Gazette  |doi=10.2307/3608345|year=1958 }}</ref><br><math>I_{x, \mathrm{solid}} = I_{y, \mathrm{solid}} = I_{z, \mathrm{solid}} = \frac{1}{10} ms^2 \,\!</math><ref name="satterly"/>||—
|-
|细棒，长為''L''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_rod_center.svg|122px]]||<math>I_{\mathrm{center}} = \frac{m L^2}{12} \,\!</math><ref name="serway"/>|| 此表示法假設了棒的宽度和厚度可以忽略不計。此為前面实心长方体，當其''w'' = ''L''，''h'' = ''d'' = 0時的特例。
|-
|细棒，长為''L''，質量為''m''||[[File:moment_of_inertia_rod_end.svg|122px]]||<math>I_{\mathrm{end}} = \frac{m L^2}{3} \,\!</math><ref name="serway"/>|| 此表示法假設了棒的宽度和厚度可以忽略不計。
|-
|[[环面]]，圆管的半徑為''a''，截面的半徑為''b''，質量為''m''||[[File:torus_cycles.svg|122px]]|| 关于直徑：<math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m \,\!</math><ref name="weisstein_torus">{{cite web
| url = http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaRing.html
| title = Moment of Inertia — Ring
| author = [[Eric W. Weisstein]]
| publisher = [[Wolfram Research]]
| accessdate = 2010-03-25
| archive-date = 2013-07-13
| archive-url = https://www.webcitation.org/6I5RKLANb?url=http://scienceworld.wolfram.com/access-error/agent-denied.html
| dead-url = no
}}</ref><br>关于纵轴：<math>\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m \,\!</math>||—
|-
|薄多边形，顶点為<math>\vec{P}_{1}</math>，<math>\vec{P}_{2}</math>，<math>\vec{P}_{3}</math>，……，<math>\vec{P}_{N}</math>，質量為<math>m</math>||[[File:Polygon Moment of Inertia.svg|130px]]||<math>I=\frac{m}{6}\frac{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||}</math>|| 外接圆半径为''R''，质量为''m''的正''n''边形，对过其中心且垂直于所在平面的轴的转动惯量<math>I=\frac{1}{2}mR^2\left(1 - \frac{2}{3}\sin^2 \frac{\pi}{n}\right) \,\!</math><ref name="six">{{cite book
|title=Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions; first edition (8 january 2010)
|author=David Morin
|page=320
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=0521876222
|year=2010
}}</ref>
|}

== 常見物理模型的三維慣量張量 ==

以下列表給出了每個物體{{Link-en|主軸定理|Principal axis theorem|主軸}}上的[[轉動慣量#慣性張量|慣量張量]]。

為了保留上面的'''I'''的標量矩，'''I'''的張量矩根據以下式子被投射在由[[單位向量]]'''n'''所定義的方向上：

:<math>\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}\equiv n_i I_{ij} n_j\,,</math>

其中點積表示用到了{{Link-en|張量收縮|tensor contraction}}和[[愛因斯坦求和約定]]。'''n'''可以是''I<sub>x</sub>'', ''I<sub>y</sub>'', ''I<sub>z</sub>''的笛卡爾基'''e'''<sub>''x''</sub>, '''e'''<sub>''y''</sub>, '''e'''<sub>''z''</sub>

{|class="wikitable"
|-
! 描述 !! 圖形 !! 慣量張量矩
|-
| 實心[[球 (数学)|球]]，半徑為''r''，質量為''m''
|| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|180px]]
|| <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{2}{5} m r^2 & 0 & 0 \\
  0 & \frac{2}{5} m r^2 & 0 \\
  0 & 0 & \frac{2}{5} m r^2
\end{bmatrix}
</math>
|-
|空心[[球 (数学)|球]]，半徑為''r''，質量為''m''||[[File:moment of inertia hollow sphere.svg|180px]]||
<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{2}{3} m r^2 & 0 & 0 \\
  0 & \frac{2}{3} m r^2 & 0 \\
  0 & 0 & \frac{2}{3} m r^2
\end{bmatrix}
</math>
|-
| 實心椭球，半轴为''a''、''b''、''c''，质量为''m''
|| [[File:Ellipsoide.png|180px]]
|| <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{5} m (b^2+c^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{5} m (a^2+c^2) & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{5} m (a^2+b^2)
\end{bmatrix}
</math>
|-
| [[圆锥]]，半徑為''r''，高為''h''，質量為''m''
|| [[File:moment of inertia cone.svg|180px]]
|| <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 & 0 \\
  0 & \frac{3}{5} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 \\
  0 & 0 & \frac{3}{10} m r^2
\end{bmatrix}
</math>
|-
| 實心[[长方体]]，高為''h''，宽為''w''，长為''d''，質量為''m''
|| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png|180x|center]]
|| <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2) & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + h^2)
\end{bmatrix}
</math>
|-
|端點繞''y''軸旋轉的细棒，长為''l''，質量為''m''|| [[File:Moment of inertia rod end.svg|center]]||
<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{3} m l^2 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{3} m l^2
\end{bmatrix}
</math>
|-
|中心繞''y''軸旋轉的细棒，长為''l''，質量為''m''|| [[File:Moment of inertia rod center.svg|180px|center]]||
<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m l^2 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{12} m l^2
\end{bmatrix}
</math>
|-
|實心圓柱，半徑為''r''，高為''h''，質量為''m''|| [[File:Moment of inertia solid cylinder.svg|180px]]||
<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{2} m r^2\end{bmatrix}
</math>
|-
|兩端開通的厚圓柱，內半徑為''r''<sub>1</sub>，外半徑為''r''<sub>2</sub>，高為''h''，質量為''m''|| [[File:Moment of inertia thick cylinder h.svg|180px]]||
<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{12} m (3(r_1^2 + r_2^2)+h^2) & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{2} m (r_1^2 + r_2^2)\end{bmatrix}
</math>
|}

== 相關條目 ==
*[[轉動慣量]]
*[[截面慣量列表]]

== 參考資料==
{{reflist}}

[[Category:經典力學]]
[[Category:物理学列表]]