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'''輸入-狀態穩定性'''（Input-to-state stability）簡稱ISS<ref name=KaJ11/><ref name=Son08>E. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math., pages 163–220, Berlin, 2008. Springer</ref>，是在有外部輸入時，[[非線性控制|非線性]]的[[控制理論]]中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及[[李雅普诺夫稳定性|狀態空間法]]，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由{{link-en|Eduardo Sontag|Eduardo Sontag}}在1989年開始使用<ref name=Coprime1989>  Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.</ref>。

== 定義 ==
考慮非時變[[常微分方程]]，其形式如下

{{NumBlk|:|<math>
\dot{x} = f(x,u), \ x(t) \in \mathbb{R}^n, 
</math>|{{EquationRef|1}}}}

其中<math>u:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^m</math>是[[勒贝格测度]][[本质上确界和本质下确界|有本質確界]]的外部輸入，且 <math>f</math>是[[利普希茨連續]]函數<!--w.r.t. the first argument uniformly w.r.t. the second one.-->。這可以確保系統({{EquationNote|1}})有唯一[[绝对连续]]的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的{{link-en|比較函數|comparison function}}分類。令<math>\mathcal{K}</math>（[[K類函數]]）為連續遞增函數<math> \gamma:\R_+ \to \R_+ </math>，且<math> \gamma(0)=0 </math>形成的集合，令<math>\mathcal{K}_{\infty} </math>為無界函數<math> \gamma \in \mathcal{K} </math>，再令<math> \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}</math>（[[KL類函數]]）為若<math> \beta(\cdot,t) \in \mathcal{K} </math>在所有的<math> t \geq 0 </math>都成立，而且針對所有的<math> r > 0 </math>，<math> \beta(r,\cdot) </math>連續，且嚴格遞減至0。

系統({{EquationNote|1}})稱為'''在原點全域漸近穩定'''（0-GAS），若對應的零輸入系統
{{NumBlk|:|<math>
\dot{x} = f(x,0), \ x(t) \in \mathbb{R}^n, 
</math>|{{EquationRef|WithoutInputs}}}}
是全域[[李雅普诺夫稳定性|李雅普诺夫稳定]]，也就是存在
<math> \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} </math>使得針對所有的初值 
<math> x_0 </math>以及任意時間<math> t \geq 0 </math>，以下有關({{EquationNote|WithoutInputs}})解的估計都有效＞：
{{NumBlk|:|<math>
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t). 
</math>|{{EquationRef|GAS-Estimate}}}}

系統({{EquationNote|1}})稱為'''輸入-狀態穩定性'''（ISS）若存在函數 
<math> \gamma \in \mathcal{K} </math>且<math> \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} </math>使得針對所有初值<math> x_0 </math>，所有可行的輸入<math> u </math>以及任意時間<math> t \geq 0 </math>，以下的不等式都成立
{{NumBlk|:|<math>
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}). 
</math>|{{EquationRef|2}}}}

上述不等式中的函數<math>\gamma</math>稱為'''增益'''（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有[[有界輸入有界輸出穩定性]]（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在<math>t \to \infty</math>時，<math>|u(t)| \to 0</math>，則在<math>t \to \infty</math>時，<math>|x(t)| \to 0</math>。

== 輸入-狀態穩定性質的特點 ==
為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統({{EquationNote|1}})為'''全域穩定（GS）'''，若存在 
<math> \gamma, \sigma \in \mathcal{K} </math>，使得對於<math>\forall u</math>、<math>\forall t \geq 0 </math>及<math>\forall x_0 </math>，下式都成立

{{NumBlk|:|<math>
|x(t)| \leq \sigma(|x_0|) + \gamma(\|u\|_{\infty}). 
</math>|{{EquationRef|GS}}}}

系統({{EquationNote|1}})滿足'''漸近增益（AG）特性'''，若存在<math>\gamma \in \mathcal{K} </math>，使得對於<math>\forall x_0 </math>, <math>\forall u</math>，下式都成立

{{NumBlk|:|<math>
\limsup_{t \to \infty}|x(t)| \leq \gamma(\|u\|_{\infty}). 
</math>|{{EquationRef|AG}}}}

以下的描述都是等效的
<ref name=NewCharacterisations>[http://www.math.rutgers.edu/~sontag/PUBDIR/FTP_DIR/new-iss.pdf Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability] {{Webarchive|url=https://wayback.archive-it.org/all/20110401123458/http://www.math.rutgers.edu/~sontag/PUBDIR/FTP_DIR/new-iss.pdf |date=2011-04-01 }}. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.</ref>：

#({{EquationNote|1}})有ISS（輸入-狀態穩定性）
#({{EquationNote|1}})是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
#({{EquationNote|1}})是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性<ref name=NewCharacterisations/><ref name=Characterisations/>。

== ISS-李亞普諾夫函數 == 
ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數<math>V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+</math>是系統({{EquationNote|1}})的ISS-李亞普諾夫函數，若<math>\exists \psi_1,\psi_2 \in \mathcal{K}_{\infty} </math>, <math>\chi \in  \mathcal{K} </math>，以及[[
正定函數 (實值連續可微函數)|正定函數]]  <math>\alpha</math>，使得下式成立：
::<math> 
\psi_1(|x|) \leq V(x) \leq \psi_2(|x|), \quad \forall x \in  \mathbb{R}^n 
</math> 
以及
<math>\forall x \in \mathbb{R}^n, \; \forall u\in \mathbb{R}^m</math>，下式成立：
:: <math> 
 |x| \geq \chi(|u|) \  \Rightarrow  \  \nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|),
</math> 

函數<math>\chi</math>稱為'''李亞普諾夫增益'''（Lyapunov gain）。

若系統({{EquationNote|1}})沒有輸入（也就是<math>u \equiv 0</math>），則最後一式可以簡化如下

::<math> 
\nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|),\ \forall x \neq 0,
</math>  

因此<math> V </math>也是（一般定義的）[[李亞普諾夫函數]]。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統({{EquationNote|1}})為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數<ref name=Characterisations>[http://www.math.rutgers.edu/~sontag/PUBDIR/FTP_DIR/converse-iss.pdf Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property] {{Wayback|url=http://www.math.rutgers.edu/~sontag/PUBDIR/FTP_DIR/converse-iss.pdf |date=20130703102042 }}. Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.</ref>。

== 例子 ==
考慮一系統
::<math> 
\dot{x}=-x^3+ux^2.
</math>   

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數<math>V:\R \to \R_+ </math>如下
<math> 
V(x)=\frac{1}{2}x^2, \quad \forall x \in \R.
</math>

<math> 
\dot{V}(x)=\nabla V \cdot (-x^3+ux^2) = -x^4 + ux^3.
</math>   

選擇李亞普諾夫增益<math> \chi</math>為
::<math> \chi(r):= \frac{1}{1-\epsilon}r </math>. 

可以得到在<math> x,u:\ |x| \geq \chi(|u|)</math>的條件下，下式成立

::<math> 
\dot{V}(x) \leq  -|x|^4 + (1-\epsilon)|x|^4 = -\epsilon|x|^4.
</math>   

可得<math> V </math>是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為<math> \chi</math>。

== 其他相關概念 ==
=== 積分輸入-狀態穩定性（iISS） ===
系統({{EquationNote|1}})為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數<math> \alpha, \gamma \in \mathcal{K} </math>及<math> \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} </math>，使得針對所有初值<math> x_0 </math>，所有可行的輸入<math> u </math>及任意時間<math> t \geq 0 </math>下，以下不等式都會成立：

{{NumBlk|:|<math>
\alpha(|x(t)|) \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t \gamma(|u(s)|)ds. 
</math>|{{EquationRef|3}}}}

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有<math> r \geq 0 </math>，令<math> \alpha(r)=\gamma(r)=r </math>，且令<math>u \equiv c= const</math>，則估計({{EquationNote|3}})會變成以下的形式
::<math>
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t cds = \beta(|x_0|,t) + ct,
</math>
隨著<math> t \to \infty </math>，等號右側會趨近無限大 <math> t \to \infty </math>。

=== 局部輸入-狀態穩定性（LISS） === 
<!--:{{main| Local input-to-state stability}}-->
局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統({{EquationNote|1}})為'''局部輸入-狀態穩定性'''（locally ISS、LISS）若存在常數<math>\rho>0</math>、函數 <math> \gamma \in \mathcal{K} </math>及<math> \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} </math>使得：針對所有<math> x_0 \in \mathbb{R}^n: \; |x_0| \leq \rho </math>，所有可行的輸入<math> u: \|u\|_{\infty} \leq \rho </math>及任意時間<math> t \geq 0 </math>，下式都成立

{{NumBlk|:|<math>
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}). 
</math>|{{EquationRef|4}}}}

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性<ref>Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996</ref>。
=== 其他的穩定性 === 
也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）<ref>Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.</ref>、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）<ref>Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.</ref>等。

== 時滯系統的ISS ==
考慮非時變的[[时滞微分方程]]

{{NumBlk|:|<math>
\dot{x}(t)=f(x^t,u(t)), \quad t > 0. 
</math>|{{EquationRef|TDS}}}}

其中<math>x^t\in C([-\theta,0];\R^N)</math>是系統({{EquationNote|TDS}})在時間<math>t</math>的狀態，<math>x^t(\tau)=x(t+\tau),\ \tau\in[-\theta,0]</math>及<math>f:C([-\theta,0];\R^N) \times \R^m</math>需滿足特定假設，以確保系統({{EquationNote|TDS}})的解存在且唯一。

系統({{EquationNote|TDS}})為ISS，若且唯若存在函數<math>\beta\in \mathcal{KL}</math>及<math>\gamma\in\mathcal{K}</math>，使得針對所有<math>\xi\in C(\left[-\theta,0\right],\R^N)</math>，所有可行的輸入，在任意時間<math>t\in\R_+</math>下，下式都成立

{{NumBlk|:|<math>
\left|x(t)\right|\leq \beta(\left\|\xi\right\|_{\left[-\theta,0\right]},t) + \gamma(\left\|u\right\|_{\infty}).
</math>|{{EquationRef|ISS-TDS}}}}

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數<ref> Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.</ref>及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函<ref>P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.</ref>。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理<ref>Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.</ref>。

== 其他類型系統的輸入-狀態穩定性 ==
以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如[[時變系統]]<ref> Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.</ref>、[[混合系統]]<ref>C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009. </ref><ref>D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.</ref>。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法<ref>[http://www.ims.cuhk.edu.hk/~cis/2008.4/cis_8_4_04.pdf Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability] {{Wayback|url=http://www.ims.cuhk.edu.hk/~cis/2008.4/cis_8_4_04.pdf |date=20170922215804 }}. Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.</ref><ref>[http://www.springerlink.com/content/c551463184277143?MUD=MP Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems.]{{Dead link|date=2020年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013</ref><ref name=KaJ11>Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.</ref><ref>F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.</ref>。

==參考資料==

{{Reflist}}

[[Category:非線性控制]]