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[[數學]]上，'''超積'''（{{lang-en|ultraproduct}}）是常見於[[抽象代數]]和[[數理邏輯]]（尤其[[模型論]]和[[集合論]]）的構造。超積是一族無窮多個[[结构 (数理逻辑)|结构]]之[[直積]]的[[商集合|商結構]]，不過要求該族結構具有相同的{{link-en|表徵 (邏輯)|signature (logic)|表徵}}<!--見於https://www.google.co.uk/books/edition/%E8%8B%B1%E6%B1%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%8D%E6%B1%87/nduYtmyywcUC?hl=en&gbpv=1&bsq=signature&pg=PA677&printsec=frontcover -->。'''超冪'''（{{lang-en|ultrapower}}）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個[[域 (數學)|域]]，可以用超冪構造出新的域。[[超实数 (非标准分析)|超實數域]]便是[[实数|實數域]]的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出[[紧致性定理]]與[[哥德尔完备性定理|完備性定理]]的優雅證明。{{link-en|傑爾姆·開斯勒|H. Jerome Keisler|開斯勒}}<!--沿用[[可測基數]]中的譯名-->的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。[[亞伯拉罕·魯濱遜]]和埃利亞斯·扎孔（{{lang|en|Elias Zakon}}）<!--扎孔為《世界人名翻译大辞典》譯名-->用[[子結構|超結構]]及其[[單同態]]的表示來構造[[數學分析|分析]]的[[非標準模型]]，使[[非标准分析]]理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

== 定義 ==
超積的一般定義中，先選定指標集<math>I</math>、對應每個下標<math>i \in I</math>的[[结构 (数理逻辑)|结构]]<math>\mathcal M_i</math>（具相同的{{link-en|表徵 (邏輯)|Signature (logic)|表徵}}），以及<math>I</math>上的[[超濾子]]<math>\mathcal U</math>。通常僅考慮<math>I</math>為[[無窮集]]，且<math>\mathcal U</math>不為主超濾子的情況，即<math>\mathcal U</math>的元素有齊<math>I</math>的全部[[餘有限空間|餘有限]]子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

[[笛卡儿积]]
:<math>\prod_{i \in I} \mathcal M_i </math>

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算<math>+</math>，<math>(\boldsymbol a + \boldsymbol b)_i = a_i + b_i</math>。然後，在笛氏積上，定義[[等价关系]]<math>\sim</math>，使<math>\boldsymbol a  \sim \boldsymbol b</math>當且僅當

:<math>\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in \mathcal U</math>

（應當理解為「<math>\boldsymbol a</math>與<math>\boldsymbol b</math>在大多數位置相等」）。

最後，所得的'''超積'''，是模<math>\sim</math>的[[等价类|商集]]。所以，該超積有時記為

:<math>\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U . </math>

另一種看法是，在指標集<math>I</math>上，定義一個有限可加的[[测度]]<math>m</math>（弱於一般可數可加的條件），僅取<math>0, 1</math>二值，若<math>A \in \mathcal U</math>則稱<math>m(A) = 1</math>，否則稱<math>m(A) = 0</math>。然後在笛氏積中，兩個元素若在[[幾乎處處|幾乎每個]]下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他{{link-en|關係 (數學)|relation (mathematics)|關係}}同理可作引申：

:<math>R([\boldsymbol a^1],\ldots,[\boldsymbol a^n]) \iff \left\{ i \in I: R^{\mathcal M_i}(a^1_i,\ldots,a^n_i) \right\}\in \mathcal U,</math>

其中<math>[\boldsymbol a]</math>表示<math>\boldsymbol a</math>模<math>\sim</math>所屬的等價類。

特別地，若每個<math>\mathcal M_i</math>皆為[[有序域]]，則所得的超積亦然。

所謂'''超冪'''，意思是所有因子<math>\mathcal M_i</math>皆相等的超積：

: <math>\mathcal M^I/\mathcal U=\prod_{i\in I} \mathcal M/\mathcal U.\,</math>

也可以推廣到<math>\mathcal U</math>不為超濾子，而僅為<math>I</math>上普通一個[[滤子 (数学)|滤子]]的情況。此時所得的模型<math>\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U</math>稱為'''約化積'''（{{lang-en|reduced product}}）。

== 例子 ==

[[超实数 (非标准分析)|超實數系]]是[[可數無窮]]多個（以[[自然數|自然數集]]編號）[[實數|實數系]]的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的[[全序|大小次序]]擴展了實數之間的大小次序。例如，<math>\omega_n = n</math>的序列<math>(\omega_n)</math>所在的等價類，記為超實數<math>\omega</math>，比任意實數都要大，因為對於任意實數<math>r</math>，<math>(\omega_n)</math>除有限項外皆比<math>r</math>大。於是，<math>\omega</math>可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義{{link-en|非標準整數|nonstandard integer|非標準整數系}}、{{le|非標準複數系|nonstandard complex numbers}}等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數<math>\psi</math>為序列<math>\psi_n = 2n</math>所在的等價類。由於對每個<math>n</math>都有<math>\psi_n > n = \omega_n</math>，在超積中，有<math>\psi > \omega</math>，所以<math>\psi</math>是較原先構造出的<math>\omega</math>更大的無窮大數。又考慮與<math>\omega_n = n</math>類似的序列<math>(\chi_n)</math>，令<math>n \neq 7</math>時，<math>\chi_n = n</math>，但<math>\chi_7 = 8</math>。則雖然兩個序列<math>(\chi_n) \neq (\omega_n)</math>，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有<math>\omega = \chi</math>。

[[大基数]]論中，有個標準構造是小心選取超濾子<math>\mathcal U</math>，然後取整個[[集合論]][[全類]]關於<math>\mathcal U</math>的超積。此時，<math>\mathcal U</math>的性質，對於所得超積的（[[高階邏輯|高階]]）性質影響很大。例如，若<math>\mathcal U</math>[[超滤子#完备性|可數完備]]，則相應的超積仍是[[良基|良基的]]。該範例在{{section link|可測基數#定義}}有提及。

== 沃希定理 ==
<!--按[[WP:外語譯音表/波蘭語]]譯-->
'''沃希定理'''（{{lang-en|Łoś's theorem}}），又稱'''超積{{le|基本定理|fundamental theorem}}'''，由{{link-en|耶日·沃希|Jerzy Łoś}}所證（{{IPA-pl|ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ}}）。定理斷言，任何一條[[一阶逻辑|一階]]邏輯式在超積<math>\prod \mathcal M_i/ \mathcal U</math>中為真，當且僅當使該公式在<math>\mathcal M_i</math>中成立的指標<math>i</math>的集合，是<math>\mathcal U</math>的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」<math>\mathcal M_i</math>皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

<blockquote>
設有表徵<math>\sigma</math>，指標集<math>I</math>，其上的超濾子<math>\mathcal U</math>，且對每個<math>i \in I</math>，有<math>\sigma</math>結構<math>\mathcal M_i</math>。又設<math>\mathcal M</math>為<math>\mathcal M_i</math>關於<math>\mathcal U</math>之超積，即<math>\mathcal M = \prod_{i \in I} \mathcal M_i / \mathcal U</math>。則對任意<math>n</math>個多元組<math> a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod \mathcal M_{i} </math>，其中<math> a^{k} = (a^k_i)_{i \in I} </math>，以及對任意<math>\sigma</math>公式<math>\varphi</math>，

:<math> \mathcal M \models \varphi(a^1, \ldots, a^n) \iff \left\{ i \in I : \mathcal M_{i} \models \varphi(a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} )\right\} \in \mathcal U.</math>
</blockquote>

定理對公式<math>\varphi</math>的[[結構歸納法|複雜度歸納]]得證。<math>\mathcal U</math>為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入[[否定]]的一步用到。而在加[[存在量詞]]的一步，要用到[[选择公理]]。應用定理可得[[超实数 (非标准分析)|超實域]]的{{link-en|轉移原理|transfer principle}}。<!-- 譯名見於https://www.google.co.uk/books/edition/%E8%8B%B1%E6%B1%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%8D%E6%B1%87/nduYtmyywcUC?hl=en&gbpv=1&pg=PA765&printsec=frontcover&bsq=transfer%20principle -->

=== 實例 ===
設<math>R</math>為結構<math>\mathcal M</math>上的[[關係 (數學)|一元關係]]，並構造<math>\mathcal M</math>的超冪。則集合<math>S=\{x \in \mathcal M:\mathcal M \models R x\}</math>在超冪中有對應的子集<math>{}^*S</math>，而在<math>\mathcal M</math>中，對<math>S</math>[[量化 (數理邏輯)|量化]]且為真的一階公式，將<math>S</math>換成<math>{}^*S</math>後，仍在超冪中成立。例如，設<math>\mathcal M = \mathbb R</math>為[[實數|實數集]]。設<math>Rx</math>表示「<math>x</math>為有理數」。則在<math>\mathcal M</math>中，對每對有理數<math>x < y</math>，總有無理數<math>z</math>介於兩者之間。即：
:<math>\mathcal M \models (\forall x) (\forall y)(Rx \wedge Ry \wedge (x < y) \implies (\exists z) (\neg Rz \wedge x < z < y)). </math>
既然有理數集<math>S</math>此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集<math>{}^*S</math>仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的[[阿基米德公理|阿基米德性質]]，即不存在實數<math>x</math>同時滿足<math>x > 1,\ x> 1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots</math>此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如[[超積#例子|前一節]]構造的超實數<math>\omega</math>，就比<math>1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots</math>都要大。

== 超冪的正極限（超極限）==
{{For|一列度量空間的超積|超極限}}

[[模型論]]和[[集合論]]中，常考慮一列超冪的{{link-en|正極限|direct limit}}（範疇論的[[餘極限]]）。[[模型论]]中，此構造稱為'''超極限'''（{{lang-en|ultralimit}}）或'''極限超冪'''（{{lang-en|limiting ultrapower}}）。

從某結構<math>\mathcal A_0</math>和超濾子<math>\mathcal U_0</math>開始，構造出超冪<math>\mathcal A_1</math>，並重複，得到<math>\mathcal A_2</math>等。對每個<math>n</math>，有[[包含映射|典範對角嵌入]]<math>\mathcal A_n\hookrightarrow \mathcal A_{n+1}</math>。在[[超限遞歸|極限階段]]，如<math>\mathcal A_\omega</math>，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

==參見==

* {{鏈解|紧致性定理}}
* {{鏈解|勒文海姆–斯科伦定理}}
* {{link-en|轉移原理|Transfer principle}}

==參考資料==
{{reflist}}

* {{ cite book | last=Bell | first=John Lane |author2=Slomson, Alan B.  | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | url=https://archive.org/details/modelsultraprodu0000bell | trans-title = 模型與超積：導論| edition=reprint of 1974 | orig-year=1969 | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44979-3 |language = en}}
* {{cite book | last=Burris | first=Stanley N. | author2=Sankappanavar, H.P. | title=A Course in Universal Algebra | trans-title=泛代數教程 | orig-year=1981 | year=2000 | url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html | edition=Millennium | language=en | access-date=2021-10-23 | archive-date=2005-01-23 | archive-url=https://web.archive.org/web/20050123031934/http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html | dead-url=no }}

[[Category:模型论]]
[[Category:泛代数]]