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[[數學]]上，稱<math>\R^n</math>上的實值函數<math>f</math>適合'''赫爾德條件'''，或稱'''赫爾德連續'''，當存在非負常數<math>C</math>，<math>\alpha</math>，使得<math> \forall x, y \in \R^n </math>,

: <math> | f(x) - f(y) | \leq C |x - y| ^{\alpha}. </math>

這條件可以推廣至任何兩個[[度量空間]]之間的函數。<math>\alpha</math>稱為赫爾德條件的'''指數'''。如果<math>\alpha=1</math>，則函數適合[[利普希茨條件]]。如果<math>\alpha=0</math>，則函數不過是[[有界函数|有界]]的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記<math>\Omega</math>為某個[[歐幾里得空間]]的[[開集]]，赫爾德空間<math> C^{n, \alpha} (\Omega)</math>所包含的函數，是直到n階微分都適合指數<math>\alpha</math>的赫爾德條件。這是[[拓撲向量空間]]，可以定義[[半範數]]：

: <math> | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha}, </math>

對<math> n\geq 0  </math>，下式給出[[範數]]：

: <math> \| f \|_{C^{n, \alpha}} = \|f\|_{C^n}+\max_{| \beta | = n} | D^\beta f |_{C^{0,\alpha}}</math>
其中<math>\beta</math>涵蓋所有[[多重指標]]，而
:<math>\|f\|_{C^n}=\max_{| \beta | \leq n}\sup_{x\in\Omega}  |D^\beta f (x)|</math>

==<math>C^{0,\alpha}({\mathbb R})</math>的例子==

* 如果<math>0<\alpha\leq\beta\leq1</math>，那麼所有<math>C^{0,\beta}</math>赫爾德連續函數都是<math>C^{0,\alpha}</math>赫爾德連續的。這也包括了<math>\beta=1</math>(这里需要集合是有界的)，所以所有[[利普希茨連續]]函數都是<math>C^{0,\alpha}</math>赫爾德連續。

* 在<math>[0,3]</math>上定義函數<math>f(x)=\sqrt{x}</math>，<math>f</math>不是利普希茨連續；但對<math>\alpha\le\frac12</math>，<math>f</math>是<math>C^{0,\alpha}</math>赫爾德連續。

[[Category:泛函分析|H]]
[[Category:利普希茨映射]]