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'''赫爾德不等式'''是[[數學分析]]的一條不等式，取名自德國數學家[[奧托·赫爾德]]。這是一條揭示[[Lp空間|L<sup>''p''</sup>空間]]的相互關係的基本不等式：

設<math>S</math>為測度空間，<math>1 \le p,q \le \infty</math>，及<math>{1\over p} + {1\over q} = 1</math>，設<math>f</math>在<math>L^p(S)</math>內，<math>g</math>在<math>L^q(S)</math>內。則<math>f\mbox{ }g</math>在<math>L^1(S)</math>內，且有
:<math>\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q,</math>
等号当且仅当<math>|f|^p </math>与<math>|g|^q </math>（[[幾乎處處]]）线性相关时取得，即有常數<math>\alpha, \beta</math>使得<math>\alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q </math>對幾乎所有<math> x\in S</math>成立。

若<math>S</math>取作<math>\{1,...,n\}</math>附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有[[實數]]（或[[复数 (数学)|複數]]）<math>x_1,\mbox{ }...,\mbox{ }x_n;\mbox{ }y_1,\mbox{ }...,\mbox{ }y_n</math>，有
:<math>\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}</math>。

我们称''p''和''q''互为'''赫尔德共轭'''。

若取<math>S</math>為[[自然數]]集附計數測度，便得與上類似的[[無窮級數]]不等式。

當<math>p = q = 2</math>，便得到[[柯西-施瓦茨不等式]]。

赫爾德不等式可以證明<math>L^p</math>空間上一般化的[[三角不等式]]，[[閔可夫斯基不等式]]，和證明<math>L^p</math>空間是<math>L^q</math>空間的[[對偶空間|對偶]]。

==备注==

* 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

* 如果1 ≤ ''p''，''q'' < ∞，那么||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>和||''g''||<sub>''q''</sub>表示（可能无穷的）表达式：

:<math>\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;以及&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.</math>

* 如果''p'' = ∞，那么||''f''&nbsp;||<sub>∞</sub>表示|''f''&nbsp;|的[[本性上确界]]，||''g''||<sub>∞</sub>也类似。

* 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着&nbsp;0。把''a''&nbsp;>&nbsp;0乘以∞，则得出&nbsp;∞。

==证明==

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是[[杨氏不等式]]。

如果||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub> = 0，那么''f''  ''μ''-几乎处处为零，且乘积''fg''  ''μ''-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=&nbsp;0也是这样。因此，我们可以假设||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>&nbsp;>&nbsp;0且||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;>&nbsp;0。

如果||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub> = ∞或||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=&nbsp;∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>和||''g''||<sub>''q''</sub>位于(0,∞)内。

如果''p'' = ∞且''q'' = 1，那么几乎处处有|''fg''| ≤ ||''f''&nbsp;||<sub>∞</sub> |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于''p''&nbsp;=&nbsp;1和''q''&nbsp;=&nbsp;∞，情况也类似。因此，我们还可以假设''p'', ''q'' &isin; (1,∞)。

分别用''f''和''g''除||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>||''g''||<sub>''q''</sub>，我们可以假设：

:<math>\|f\|_p = \|g\|_q = 1.</math>

我们现在使用杨氏不等式：

:<math>a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,</math>

对于所有非负的''a''和''b''，当且仅当''a<sup>p</sup>'' = ''b<sup>q</sup>''时等式成立。因此：

:<math>|f(s)g(s)| \le \frac{|f(s)|^p}p + \frac{|g(s)|^q}q,\qquad s\in S.</math>

两边积分，得：

:<math>\|fg\|_1 \le 1,</math>

这便证明了赫尔德不等式。

在''p'' &isin; (1,∞)和||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub> = ||''g''||<sub>''q''</sub> = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|''f''&nbsp;|<sup>p</sup> = |''g''|<sup>q</sup>。更一般地，如果||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>和||''g''||<sub>''q''</sub>位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在''α'',&nbsp;''β''&nbsp;>&nbsp;0（即''α'' = ||''g''||<sub>''q''</sub>且''β'' = ||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub>），使得：

:<math>\alpha |f|^p = \beta |g|^q\,</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;''μ''-几乎处处&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*)

||''f''&nbsp;||<sub>''p''</sub> = 0的情况对应于(*)中的''β''&nbsp;=&nbsp;0。||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=0&nbsp;的情况对应于(*)中的''α''&nbsp;=&nbsp;0。

==反向赫尔德不等式==
当<math>0<p<1</math>时，<math>\|\cdot\|_p</math>不再满足三角不等式，此时成立'''反向赫尔德不等式'''(Reverse Hölder inequality):
:<math>\|fg\|_1 \ge \|f\|_p \|g\|_q</math>

==参考文献==
*{{citation|first=G.H. |last=Hardy|first2=  J.E. |last2=Littlewood|first3=  G.|last3= Pólya|title=Inequalities|publisher= Cambridge Univ. Press  |year=1934|isbn=0521358809}}
*{{citation|first=O.|last= Hölder|title=Ueber einen Mittelwerthsatz|journal=  Nachr. Ges. Wiss. Göttingen  |year=1889|pages= 38–47}}
*{{springer|id=H/h047514|first=L.P. |last=Kuptsov|title=Hölder inequality}}
*{{citation|first=L J.|last= Rogers|title=An extension of a certain theorem in inequalities|journal= Messenger of math |volume=17|year=1888|pages= 145–150}}
*{{Citation
 | last=Kuttler
 | first=Kenneth
 | title=An introduction to linear algebra
 | publisher=Online e-book in PDF format, Brigham Young University
 | url=http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
 | year=2007
 | isbn=
 | accessdate=2009-02-02
 | archive-date=2008-08-07
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20080807175104/http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
 | dead-url=no
 }}
*{{ cite journal zh| title = Young不等式在Lp空间中的应用 | author = 邢家省 |date = 2007年 第3期 |volume = 第20卷| journal = 聊城大学学报（自然科学版） | issn = 16726634| accessdate = 2009-10-27 }}
*{{ cite journal zh| title = Young不等式的证明及应用 | author = 张愿章 | date = 2004年 第01期  | volume=第22卷  | journal = 河南科学 | issn = 10043918 | accessdate = 2009-10-27 }}

[[Category:概率不等式]]
[[Category:泛函分析]]