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'''贝克隆德变换'''是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系<ref>Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer</ref>。

两个非线性偏微分方程

<math>  F_1(u,x,t,u_x,u_t,u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,</math>

<math> F_2(w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta,w_\xi,w_{\xi\xi},w_{\xi\eta},w_{\eta\eta})=0</math>

之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系

<math>  \phi_1(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta)=0,</math>

<math>  \phi_2(u,x,t,u_x,u_t,w,\xi,\eta,w_\xi,w_\eta)=0.</math>

贝克隆德变换是求[[非线性偏微分方程]]精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家[[阿尔伯特·维克多·贝克隆德|贝克隆德]]发现[[正弦-戈尔登方程]]的不同解u、v

:<math> u_{xt} = \sin u.\,</math>

:<math> v_{xt} = \sin v.\,</math>

之间有如下关系：<ref>阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年</ref>
:<math>\begin{align}
v_x & = u_x - 2\beta \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\
v_t & = -u_t + \frac{2}{\beta} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)
\end{align} \,\!</math>

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商：

<math>bt1 :=(1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt} = \beta*cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_t+(1/2)*v_t)</math>

<math>bt2 :=(1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt} = cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_x+(1/2)*v_x)/\beta</math>

消除v即得<math> u_{xt} = \sin u.\,</math>；

消除u项即得
:<math> v_{xt} = \sin v.\,</math>

贝克隆德变换常用于求[[正弦-戈尔登方程]]、[[高维广义Burger I型方程]]、[[高维广义Burger II型方程]]的精确解：<ref>阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年</ref>

==解正弦-戈尔登方程==
[[File:Sine-gordon kink2d.gif|thumb|200px|Sine-gordon kink2d]]
[[File:Sine-gordon 3D animation1.gif|thumb|200px|Sine-gordon 3D animation1]]
[[File:Sine-gordon 3D animation2.gif|thumb|200px|Sine-gordon 3D animation2]]

利用[[正弦-戈尔登方程]]的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程：

由贝克隆德自变换<math>v_x = u_x - 2\beta \sin( \frac{u+v}{2} )</math>令v=0，得

<math>u_x = 2\beta \sin \Bigl( \frac{u}{2} \Bigr)</math>，显然

<math>2*\beta = u[x]/sin((1/2)*u)</math>，两边对x积分，得：

<math>2*\beta*x = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))</math>

对贝克隆德自变换第二式作同样运算得：

<math>2*t/\beta = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))</math>
经过三角函数运算，二式简化为

<math>2\beta*x = 2*ln(tan(u/4))</math>

<math>2t/\beta = 2*ln(tan(u/4))</math>

二式相加得：

<math>2*beta*x+2*t/beta = 4*ln(tan((1/4)*u))</math>，

分离u得[[正弦-戈尔登方程]]的一个解析解：

<math>u(x,t)=4*arctan(e^{\frac{\beta^2*x+t}{2\beta}})</math>

又从<math>2*t/\beta = 2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))</math>
直接接求u得另外两个解析解：

<math>u(x,t)=2*arctan(2*exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta)/(1+(exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2))</math>

<math>u(x,t)=-2*arctan(((exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2-1)/(1+(exp((1/2)*(\beta^2*x+t)/\beta))^2))</math>

==另见==
[[可积系统]]

[[KdV方程]]

==参考文献==
<references/>
{{非线性偏微分方程理论与解法}}
[[Category:非线性偏微分方程]]